Bài toán: (Đề chọn đội tuyển QG tỉnh Bình Định, 2016-2017) Cho $a,b\in (0; 1)$. Xét dãy ${u_n}$: $$\begin{cases}u_0=a, u_1=b\\u_{n+2}=\dfrac{1}{2017}u^4_{n+1}+\dfrac{2016}{2017}\sqrt[4]{u_n}, \forall n\in \mathbb{N} \end{cases}$$
CMR: $(u_n)$ có GH và tìm GH đó.
Giải:
Bằng qui nạp dễ CM được $(u_n)\in (0;1)$. Xét dãy $(v_n)$: $$\begin{cases} v_0=\min \{a, b\}\\ v_{n+1}=\dfrac{1}{2017}v^4_n+\dfrac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_n}, \forall n\in\mathbb{N} \end{cases}$$ Theo AM-GM: $$v_{n+1}=\dfrac{1}{2017}v^4_n+\dfrac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_n}\ge\sqrt[2017]{v_n^4.\sqrt[4]{v_n}} > v_n$$ Dễ thấy $v_n\in (0;1)$ Từ đó suy ra $\lim v_n=1$.
Bằng qui nạp, dễ thấy: $v_n\le \min\{ u_{2n}, u_{2n+1}\}, u_{2n+3}\ge v_{n+1}\Rightarrow v_{n+1}\le\min\{u_{2n+2}, u_{2n+3}\}$. Do đó: $$v_n\le \min\{u_{2n}, u_{2n+1}\}\le \max\{u_{2n}, u_{2n+1}\}<1$$ Theo nguyên lý kẹp, ta được: $$1<u_n<1\Rightarrow \lim u_n =1$$
Vậy, $$\boxed{\lim u_n =1}$$
