Bài toán: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn: $$P(x^2)+x.(3P(x)+P(-x))=(P(x))^2+2x^2, \forall x\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(*)$$
Lời Giải:
Trong $(*)$ cho $x=0$ ta được $P(0)=P^2(0)\Leftrightarrow P(0)=0\vee P(0)=1$
Trong $(*)$ thay $x$ bởi $-x$ ta được:
$$P(x^2)-x.((3P(-x)+P(x))=(P(-x))^2+2x^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(**)$$ Lấy $(*)-(**)$, ta được: $$x(3P(x)+P(-x))+x(3P(-x)+P(x))=(P(x))^2-(P(-x))^2\\\Leftrightarrow x(4P(x)+4P(-x))=(P(x))^2-(P(-x))^2$$
Nếu đặt $k=\deg P $ thì từ trên ta có $k+1=2k\Leftrightarrow k=1$ hay $P(x)=ax+b$
Với $P(0)=0)$ thì $P(x)=ax$ thay vào $(*)$, lúc này trong $(*)$ cho $x=1$, ta được: $$a+2a=a^2+2 \Rightarrow \begin{cases} a_1=1\\a=2\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} P(x)=x\\P(x)=2x\end{cases}$$
Với $P(0)=1$ thì ta có $P(x)=ax+1$, tương tự như trên, ta cũng có $P(x)=-x+1\vee P(x)=2x+1$
Tóm lại $$\boxed{P(x)=x\\P(x)=2x\\P(x)=-x+1\\P(x)=2x+1}$$