Bài 5: Tính $$A=2+22+222+...+\underset{\text{13 chu so } 2}{22...22}$$
GIẢI:
Ta có: $$2=2.10^0\\22=20+2=2.10^1+2.10^0\\222=200+20+2=2.10^2+2.10^1+2.10^0\\...\\\underset{\text{13 chu so } 2}{22...22}=\underset{(\text{12 chu so }0)}{ 200...000}+\underset{(\text{11 chu so }0)}{ 200...000}+...+20+2=2.10^{12}+2.10^11+2.10^10+...+2.10^1+2.10^0$$
Nhận thấy:
Có $13$ số $2=2.10^0$
      $12$ số $20=2.10^1$
      $11$ số $200=2.10^2$
      ....
      $2$ số $2.10^{11}$
      $1$ số $2.10^{12}$
Như vậy $$A=13.2.10^0+12.2.10^1+11.2.10^2+...+2.10^{11}+1.2.10^{12}$$
Tới đây có 2 cách bấm máy: 
Cách 1: 
Nhập thẳng vô máy CASIO: $$\sum_{x=0}^{12}((13-x).2.10^{x})$$ rồi nhận kết quả (như hình)

Cách 2: Khai báo vào màn hình:  $A=A+1: B=B+(13-A).2.10^A$, nhấn CALC, máy hỏi $A=?$, khai báo $A=-1$, nhấn $=$ liên tục cho tới khi $A=A+1=12$ máy báo kết quả như trên, giá trị $B$ cuối cùng khi $A=12$ chính là kết quả bài toán (Xem ảnh)

Bài toán: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn: $$P(x^2)+x.(3P(x)+P(-x))=(P(x))^2+2x^2, \forall x\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(*)$$
Lời Giải:
Trong $(*)$ cho $x=0$ ta được $P(0)=P^2(0)\Leftrightarrow P(0)=0\vee P(0)=1$
Trong $(*)$ thay $x$ bởi $-x$ ta được:
$$P(x^2)-x.((3P(-x)+P(x))=(P(-x))^2+2x^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(**)$$ Lấy $(*)-(**)$, ta được: $$x(3P(x)+P(-x))+x(3P(-x)+P(x))=(P(x))^2-(P(-x))^2\\\Leftrightarrow x(4P(x)+4P(-x))=(P(x))^2-(P(-x))^2$$
Nếu đặt $k=\deg P$ thì từ trên ta có $k+1=2k\Leftrightarrow k=1$ hay $P(x)=ax+b$
Với $P(0)=0)$ thì $P(x)=ax$ thay vào $(*)$, lúc này trong $(*)$ cho $x=1$, ta được: $$a+2a=a^2+2 \Rightarrow \begin{cases} a_1=1\\a=2\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} P(x)=x\\P(x)=2x\end{cases}$$
Với $P(0)=1$ thì ta có $P(x)=ax+1$, tương tự như trên, ta cũng có $P(x)=-x+1\vee P(x)=2x+1$
Tóm lại $$\boxed{P(x)=x\\P(x)=2x\\P(x)=-x+1\\P(x)=2x+1}$$