A. NGUYÊN HÀM
1. Phương pháp đổi biến:
Nếu $\begin{cases}\int f(u)du=F(u)+C\\u=u(x) \text{ có đạo hàm liên tục trên }D\end{cases}$ thì $$\boxed{\int f(u).u'.dx=F(u)+C}$$
HỆ QUẢ: nếu $f(x)=ax+b, (a\neq 0)$ thì $$\int f(ax+b) dx=\dfrac{1}{a}F(ax+b)+C$$
2. Nguyên hàm từng phần:
Nếu $u, v$ có đạo hàm liên tục trên $D$ thì $$\boxed{\int u.v'dx=uv-\int v.u'dx}$$
BÀI TẬP: Tính nguyên hàm:
$\begin{aligned}1.\;&\int (x+1)^2(2x-1)dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&&\int \dfrac{x^4-3x^2+4x+2}{x^2}dx \\&\int (4\sqrt[3]{x}+3\sqrt[4]{x})dx\;\;&&\int (2x+2\sqrt[3]{x}+\sqrt{x})dx\end{aligned}$
$\begin{aligned}2.\; &\int4^{2x+1}dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&&\int (e^x+1)dx \\&\int e^x.(1-e^x)^2dx\;&&\int \dfrac{e^{2x}+e^x}{e^x}dx\end{aligned}$
$\begin{aligned}3.\;& \int (2\sin x -cos x)dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&&\int (\sin 3x +\cos 4x )dx\\&\int (\sin x -\tan x)dx\;&&\int (\cos x+3\cot 2x)dx\end{aligned}$
$\begin{aligned}4. \;& \int 2\sin x\cos xdx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&&\int \sin 2x.\cos 2x. \cos 4xdx\\&\int \sin 4x.\cos 3xdx &&\int\cos x.\sin 2xdx\end{aligned}$
$5.$ Cho $f'(x)=3-5\sin x$ và $f(0)=10$ Tìm $f(x)$
$\begin{aligned}6. \;&\int (x+1)\sin x dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&&\int (x^2+5x-6)\sin x dx\\&\int (x^2+x)\cos xdx &&\int (3x^2-4x)\sin 2x dx\\&\int (x+1)e^xdx&&\int (4x^2+1)e^{2x}dx\\&\int \sqrt{x}e^xdx&&\int x.e^{\sqrt{x}}dx\\&\int (x+1)\ln x &&\int (x^2-x)\log x dx\end{aligned}$
7. Cho $F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của $f(x).e^{2x}$. Nguyên hàm của $f'(x).e^{2x}$ là
$$\begin{aligned} &A.\; \int f'(x).e^{2x}dx=-x^2+2x+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&&B.\;\int f'(x).e^{2x}dx=-x^2+x+C\\&C.\;\int f'(x)e^{2x}dx=2x^2-2x+C &&D.\;\int f'(x)e^{2x}dx=-2x^2+2x+C\end{aligned}$$
8. Nguyên hàm của $f(x)=\dfrac{1}{5x-2}$
9. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$. Tính $F(e)-F(1)$
