Bài toán: (VMO 2015 pro. 5) Cho $(f_n(x))$ là dãy các đa thức xác định bởi: $$\begin{cases} f_0(x)=2,\, f_1(x)=3x\\ f_n(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)\end{cases}$$ Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho đa thức $x^3-x^2+x$

Lời giải: 
   Xét phương trình đặc trưng: $$t^2-3xt-(1-x-2x^2)=0$$ Giải phương trình này ta tìm được hai nghiệm $$\begin{cases}t_1=x+1\\t_2=2x-1\end{cases}$$ Suy ra: $f_n(x)=A(x+1)^n+B(2x-1)^n$. Cho $n=0, n=1$ ta có hệ: $$\begin{cases}A+B=2\\(x+1)A+(2x-1)B=3x\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}A=1\\B=1\end{cases}$$ Vậy, ta được $$f_n(x)=(x+1)^n+(2x-1)^n$$ Nếu $n$ chẳn, thì $f_n(x)\equiv 2\pmod{x}$ mà $x^3-x^2+x\equiv 0\pmod{x}$ nên trường hợp này không thể xảy ra. Tức là $n$ lẻ.
   Ta nhận thấy: $$(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1=x^3-x^2+x+4x^2+2x+1\equiv 4x^2+2x+1\equiv \pmod{x^3-x^2+x}\\(2x-1)^3=8x^3-12x^2+6x-1=8(x^3-x^2+x)-4x^2-2x-1\equiv -4x^2-2x-1\pmod{x^3-x^2+x}$$  
 Xét các trường hợp: 
    Trường hợp 1: $n=3k+1$, $k$ chẵn. Khi đó, ta có: $$\begin{aligned}f_n(x)&=(x+1)^{3k+1}+(2x-1)^{3k+1}\\&=(x^3+3x^2+3x+1)^k(x+1)+(8x^3-12x^2+6x-1)^k(2x-1)\\&\equiv (4x^2+2x+1)^k(x+1)+(-4x^2-2x-1)^k(2x-1)\\&\equiv 3x(4x^2+2x+1)^k\not\equiv 0\pmod{x^3-x^2+x}\end{aligned}$$
    Trường hợp 2: $n=3k+2$, $k$ lẻ. Khi đó, ta có $$\begin{aligned}f_n(x)&=(x+1)^{3k+2}+(2x-1)^{3k+2}\\&=(x^3+3x^2+3x+1)^k(x^2+2x+1)+(8x^3-12x^2+6x-1)^k(4x^2-4x+1)\\&\equiv (4x^2+2x+1)^k(x^2+2x+1)+(-4x^2-2x-1)^k(4x^2-4x+1)\\&\equiv (4x^2+2x+1)^k(x^2+2x+1-4x^2+4x-1)\\&\equiv (4x^2+2x+1)^k(-3x^2+6x)\\&\not\equiv 0\pmod{x^3-x^2+x}\end{aligned}$$
    Trường hợp 3: $n=3(2k+1),k\in\mathbb{N}$. khi đó ta có: $$\begin{aligned}f_n(x)&=(x+1)^{3(2k+1)}+(2x-1)^{3(2k+1)}\\& =(x^3+3x^2+3x+1)^{2k+1}+(8x^3-12x^2+6x-1)^{2k+1}\\&\equiv (4x^2+2x+1)^{2k+1}+(-4x^2-2x-1)^{2k+1}\\&\equiv 0\pmod{x^3-x^2+x}\end{aligned}$$
 Cuối cùng, ta được kết quả: $$\boxed{n=3(2k+1),k\in\mathbb{N}}$$