Bài toán: Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn: $$f(x.f(y))+f(y.f(z))+f(z.f(x))=xy+yz+zx,\forall x, y, z\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;(*)$$

Lời giải:
Trong $(*)$ cho $x=y=z=0$ ta được $f(0)=0$.
Tiếp tục cho $z=0$, từ $(*)$ ta được: $$f(xf(y))=xy,\forall x,y\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ Trong $(1)$ cố định $x$, với mỗi $f(y_1)=f(y_2)$ ta có: $$f(xf(y_1))=f(xf(y_2))\Leftrightarrow xy_1=xy_2\Leftrightarrow y_1=y_2$$ Như vậy $f$ là đơn ánh. Ngoài ra trong $(1)$ cho $x=1$ ta được $f(f(x))=x,\forall x\in\mathbb{R}$, điều này chứng tỏ $f$ là toàn ánh.
Trong $(*)$ cho $x=1, y=f(1)$, ta được: $$f(f(f(1)))+f(f(1).z)+f(f(1)z)=f(1)+f(1)z+z,\forall z\in\mathbb{R}$$ Chú ý tới $(1)$ và $f$ là toàn ánh nên từ trên ta dễ dàng suy ra: $$f(f(1).z)=f(1).z,\forall z\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ Ngoài ra, trong $(1)$ cho $y=1$ ta được: $$f(f(1).x)=x,\forall x\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ Từ $(3)$ kết hợp với $(2)$ ta có được: $$x=f(1).x,\forall x\in\mathbb{R}\Rightarrow f(1)=1$$ Từ đây, kết hợp với $(3)$ ta được $f(x)\equiv x,\forall x\in\mathbb{R}$, tử lại thấy thỏa. Tóm lại, $$f(x)\equiv x,\forall x\in\mathbb{R}$$