Hệ PT thi thử diễn đàn Mathlinks.vn

Bài toán: (Mathlinks.vn) Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}(x+y)\left(\dfrac{1}{xy}+3\right)=\dfrac{6(x^2+y^2)+4}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\\\\4-x^2-y^2=2\sqrt{2xy}+\sqrt{2-x^2-y^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\end{cases}$$ Lời giải: 

 ĐK: $\begin{cases}x^2+y^2\le 2\\x,y>0\end{cases}$. Bây giờ, ta sẽ chứng minh với điều kiện này thì: $$\begin{align}&\;\;\;\;\;\;\;(x+y)\left(\dfrac{1}{xy}+3\right)\ge\dfrac{6(x^2+y^2)+4}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(*) \\ & \Leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy}+3(x+y)-\dfrac{6(x^2+y^2)+4}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}-\dfrac{4}{x+y}+\dfrac{4}{x+y}-\dfrac{4}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}+3(x+y)-3\sqrt{2(x^2+y^2)}\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{(x-y)^2}{xy(x+y)}+\dfrac{4(x-y)^2}{(x+y)\sqrt{2(x^2+y^2)}\left[ x+y+\sqrt{2(x^2+y^2)}\right] }-\dfrac{3(x-y)^2}{x+y+\sqrt{2(x^2+y^2)}}\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{xy(x+y)}+\dfrac{4}{(x+y)\sqrt{2(x^2+y^2)}\left[ x+y+\sqrt{2(x^2+y^2)}\right] }-\dfrac{3}{x+y+\sqrt{2(x^2+y^2)}}\ge 0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{1}{xy(x+y)}-\dfrac{8}{(x+y)\sqrt{2(x^2+y^2)}\left[ x+y+\sqrt{2(x^2+y^2)}\right]}+\dfrac{12}{(x+y)\sqrt{2(x^2+y^2)}\left[ x+y+\sqrt{2(x^2+y^2)}\right]}-\dfrac{3}{x+y+\sqrt{2(x^2+y^2)}}\ge  0 \\ & \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2(x^2+y^2)}\left[x+y+\sqrt{2(x^2+y^2)}\right] -8xy}{xy(x+y)\sqrt{2(x^2+y^2)}\left[ x+y+\sqrt{2(x^2+y^2)}\right]}+\dfrac{3.\left[ 4-(x+y)\sqrt{2(x^2+y^2)}\right]}{(x+y)\sqrt{2(x^2+y^2)}\left[ x+y+\sqrt{2(x^2+y^2)}\right]}\ge 0\end{align}$$ BDT này đúng vì theo Cauchy Schwarz và AM-GM ta có: $$\sqrt{2(x^2+y^2)}\left[x+y+\sqrt{2(x^2+y^2)}\right]\ge 2(x+y)^2\ge 8xy$$ Vì $x^2+y^2\le 2$ nên: $$4-(x+y)\sqrt{2(x^2+y^2)}\ge 4-2(x^2+y^2)\ge 0$$ BDT $(*)$ được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y$. Thay vào phương trình $(2)$ ta được: $$\begin{aligned}&\;\;\;\;\;\; 4-2x^2=2x\sqrt{2}+\sqrt{2-2x^2}\\ & \Leftrightarrow 1-2x^2+2(1-x\sqrt{2})+1-\sqrt{2-2x^2}=0\\ & \Leftrightarrow (1-x\sqrt{2})\left[(1+x\sqrt{2}).\dfrac{\sqrt{2-2x^2}}{1+\sqrt{2-2x^2}}+2\right] =0\\ & \Leftrightarrow 1-x\sqrt{2}=0,\;\;\;\text{Vì }(1+x\sqrt{2})\dfrac{\sqrt{2-2x^2}}{1+\sqrt{2-2x^2}}+2 >0\\&\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned}$$ Cuối cùng, ta thu được nghiệm $$(x, y)=\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$$