Phương trình hàm trong đề KT đội tuyển Chuyên Long An

Bài toán: (Đề kiểm tra đội tuyển HSG trường Chuyên Long An)
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn: $$f(x^2)=f(y).f(2x-y)+(y-x)^2,\forall x, y \in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(*)$$ Lời giải: Trong $(*)$ cho $x=y$ ta được: $$f(x^2)=f^2(x),\forall x\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)$$ Trong $(1)$ lấy $x=0$ ta được $f(0)=0\vee f(0)=1$.
Trường hợp 1: $f(0)=0$, trong $(*)$ cho $y=0$ ta được: $$\begin{aligned}&\;\;\;\;f(x^2)=x^2\\&\Leftrightarrow f^2(x)=x^2, \forall x\in\mathbb{R}\end{aligned}$$
Từ đây suy ra $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$. Thử lại ta thấy chỉ có hàm số $f(x)=x,\forall x\in\mathbb{R}$ thỏa mãn bài toán.
Trường hợp 2: $f(0)=1$, trong $(*)$ cho $y=0$, ta được: $$f(x^2)=f(2x)+x^2,\forall x\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)$$ Trong $(*)$ thay $y$ bởi $x-y$ ta được: $$f(x^2)=f(x-y)f(x+y)+y^2,\forall x,y\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3)$$ Kết hợp $(2)$ và $(3)$ ta được: $$f(2x)+x^2=f(x+y).f(x-y)+y^2,\forall x, y\in\mathbb{R}$$ Đặt $a=x+y,\;b=x-y, \;a,b\in\mathbb{R}$ ta được: $$f(a+b)+ab=f(a).f(b),\forall a,b\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)$$ Trong $(*)$, ta thay $y$ bởi $b$, $2x-y$ bởi $a$, ta được: $$f\left(\dfrac{(a+b)^2}{4}\right)=f(a).f(b)-\dfrac{(a-b)^2}{4},\forall a, b\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(5)$$ Kết hợp $(4)$ và $(5)$ ta được:   $$\begin{aligned}&\;\;\;f(a+b)+ab=f\left(\dfrac{(a+b)^2}{4}\right)-\dfrac{(a-b)^2}{4},\forall a, b\in\mathbb{R}\\&\Leftrightarrow 4f(a+b)=4f\left(\dfrac{(a+b)^2}{4}\right)-(a+b)^2,\forall a,b\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;(6)\end{aligned}$$ Trong $(6)$ cho $a+b=4$ ta được $-4^2=0$, vô lý.
Vậy chỉ có hàm số thỏa mãn bài toán: $$f(x)=x,\forall x\in\mathbb{R}$$

Using S-S method in prove inequality

Bài toán: Cho $x, y, z$ là các số thực không âm thỏa mãn $2x+3y+z=1$. Tìm GTNN của: $$P=4x^2+9y^2+z^2+24xyz$$ Lời giải:
 Thực hiện đổi biến $\left(x,y,z\right)\rightarrow \left(\dfrac{x}{2},\dfrac{y}{3}, z\right)$. Khi đó ta có $x+y+z=1$ đồng thời: $$P=x^2+y^2+z^2+4xyz$$ Chú ý rằng $x+y+z=1$ nên ta có: $$\begin{aligned}P&=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{(x+y+z)^2}+\dfrac{4xyz}{(x+y+z)^3}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{(x+y+z)^2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{4xyz}{(x+y+z)^3}-\dfrac{4}{27}+\dfrac{13}{27}\\&=\dfrac{3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2}{3(x+y+z)^2}-4.\dfrac{(x+y+z)^3-27xyz}{27(x+y+z)^3}+\dfrac{13}{27}\\&=\dfrac{2[(x-y)^2+(x-z)(y-z)]}{3(x+y+z)^2}-4.\dfrac{(x+y+z)[(x-y)^2+(x-z)(y-z)]+3[(2z(x-y)^2+(x+y)(x-z)(y-z)]}{27(x+y+z)^3}+\dfrac{13}{27}\\&=M(x-y)^2+N(x-z)(y-z)+\dfrac{13}{27}\end{aligned}$$
 Trong đó: $$\begin{aligned} M&=\dfrac{2}{3(x+y+z)^2}-\dfrac{4(x+y+z+6z)}{27(x+y+z)^3}\\&=\dfrac{18(x+y+z)-4(x+y+z)-24z}{27(x+y+z)^3}=\dfrac{14-24z}{27}\\\\N&=\dfrac{18(x+y+z)-4(x+y+z+3x+3y)}{27(x+y+z)^3}\\&=\dfrac{14(x+y+z)-12(x+y)}{27(x+y+z)^3}=\dfrac{2+12z}{27}\end{aligned}$$ Ngoài ra, chú ý rằng sau khi thực hiện phép đổi biến thì vai trò $x,y,z$ là như nhau nên ta hoàn toàn có thể giải sử $z=\min\{x,y,z\}$ do đó $M, N>0$. Từ đó suy ra: $$P=M(x-y)^2+N(x-z)(y-z)+\dfrac{13}{27}\ge \dfrac{13}{27}$$ Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases}x+y+z=1\\x=y=z\end{cases}\text{ hay}\begin{cases}2x+3y+z=1\\2x=3y=z=\dfrac{1}{3}\end{cases} \Leftrightarrow (x,y,z)=\left(\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{9},\dfrac{1}{3}\right)$ 
Kết luận: $$\boxed{\min P=\dfrac{13}{27}}$$