Using S-S method in prove inequality

Bài toán: Cho $x, y, z$ là các số thực không âm thỏa mãn $2x+3y+z=1$. Tìm GTNN của: $$P=4x^2+9y^2+z^2+24xyz$$ Lời giải:
 Thực hiện đổi biến $\left(x,y,z\right)\rightarrow \left(\dfrac{x}{2},\dfrac{y}{3}, z\right)$. Khi đó ta có $x+y+z=1$ đồng thời: $$P=x^2+y^2+z^2+4xyz$$ Chú ý rằng $x+y+z=1$ nên ta có: $$\begin{aligned}P&=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{(x+y+z)^2}+\dfrac{4xyz}{(x+y+z)^3}=\dfrac{x^2+y^2+z^2}{(x+y+z)^2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{4xyz}{(x+y+z)^3}-\dfrac{4}{27}+\dfrac{13}{27}\\&=\dfrac{3(x^2+y^2+z^2)-(x+y+z)^2}{3(x+y+z)^2}-4.\dfrac{(x+y+z)^3-27xyz}{27(x+y+z)^3}+\dfrac{13}{27}\\&=\dfrac{2[(x-y)^2+(x-z)(y-z)]}{3(x+y+z)^2}-4.\dfrac{(x+y+z)[(x-y)^2+(x-z)(y-z)]+3[(2z(x-y)^2+(x+y)(x-z)(y-z)]}{27(x+y+z)^3}+\dfrac{13}{27}\\&=M(x-y)^2+N(x-z)(y-z)+\dfrac{13}{27}\end{aligned}$$
 Trong đó: $$\begin{aligned} M&=\dfrac{2}{3(x+y+z)^2}-\dfrac{4(x+y+z+6z)}{27(x+y+z)^3}\\&=\dfrac{18(x+y+z)-4(x+y+z)-24z}{27(x+y+z)^3}=\dfrac{14-24z}{27}\\\\N&=\dfrac{18(x+y+z)-4(x+y+z+3x+3y)}{27(x+y+z)^3}\\&=\dfrac{14(x+y+z)-12(x+y)}{27(x+y+z)^3}=\dfrac{2+12z}{27}\end{aligned}$$ Ngoài ra, chú ý rằng sau khi thực hiện phép đổi biến thì vai trò $x,y,z$ là như nhau nên ta hoàn toàn có thể giải sử $z=\min\{x,y,z\}$ do đó $M, N>0$. Từ đó suy ra: $$P=M(x-y)^2+N(x-z)(y-z)+\dfrac{13}{27}\ge \dfrac{13}{27}$$ Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi $\begin{cases}x+y+z=1\\x=y=z\end{cases}\text{ hay}\begin{cases}2x+3y+z=1\\2x=3y=z=\dfrac{1}{3}\end{cases} \Leftrightarrow (x,y,z)=\left(\dfrac{1}{6},\dfrac{1}{9},\dfrac{1}{3}\right)$ 
Kết luận: $$\boxed{\min P=\dfrac{13}{27}}$$