Đề chọn đội tuyển QG tỉnh Bình Định, 2016-2017

Bài toán: (Đề chọn đội tuyển QG tỉnh Bình Định, 2016-2017) Cho $a,b\in (0; 1)$. Xét dãy ${u_n}$: $$\begin{cases}u_0=a, u_1=b\\u_{n+2}=\dfrac{1}{2017}u^4_{n+1}+\dfrac{2016}{2017}\sqrt[4]{u_n}, \forall n\in \mathbb{N} \end{cases}$$
CMR: $(u_n)$ có GH và tìm GH đó.

Giải:
Bằng qui nạp dễ CM được $(u_n)\in (0;1)$. Xét dãy $(v_n)$: $$\begin{cases} v_0=\min \{a, b\}\\ v_{n+1}=\dfrac{1}{2017}v^4_n+\dfrac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_n}, \forall n\in\mathbb{N} \end{cases}$$  Theo AM-GM: $$v_{n+1}=\dfrac{1}{2017}v^4_n+\dfrac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_n}\ge\sqrt[2017]{v_n^4.\sqrt[4]{v_n}} > v_n$$ Dễ thấy $v_n\in (0;1)$ Từ đó suy ra $\lim v_n=1$. 
Bằng qui nạp, dễ thấy: $v_n\le \min\{ u_{2n}, u_{2n+1}\}, u_{2n+3}\ge v_{n+1}\Rightarrow v_{n+1}\le\min\{u_{2n+2}, u_{2n+3}\}$. Do đó: $$v_n\le \min\{u_{2n}, u_{2n+1}\}\le \max\{u_{2n}, u_{2n+1}\}<1$$ Theo nguyên lý  kẹp, ta được: $$1<u_n<1\Rightarrow \lim u_n =1$$
Vậy, $$\boxed{\lim u_n =1}$$

Bài toán: (Thi thử chuyên KHTN 2016) Cho $a, b, c$ không âm thỏa $(a+1)(b+1)(c+1)=5$. Tìm GTLN của: $$P=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2-\min\{a, b, c\})$$
Lời Giải:
Giả sử $c=\min \{a, b, c\}\Rightarrow (c+1)^3\le 5\Rightarrow c\le \sqrt[3]{5}-1$,  đồng thời sử dung C-S ta có: $$\dfrac{5}{c+1}=(a+1)(b+1)\ge (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$$ Ta suy ra: $$\begin{aligned}P=& =(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 -c\\&=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2+2\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) \\& \le \dfrac{5}{c+1} +2\sqrt{\dfrac{5c}{c+1}} \end{aligned}$$
Thực hiện khảo sát hàm $f(c)= \dfrac{5}{c+1} +2\sqrt{\dfrac{5c}{c+1}}$ trên $c\in [0; \sqrt[3]{5}-1]$ ta được $P\le 6$, dấu ''='' đạt được khi $a=b=1, c=\dfrac{1}{4}$. Vậy $$\boxed{\max P=6}$$