Bài toán: (Thi thử chuyên KHTN 2016) Cho $a, b, c$ không âm thỏa $(a+1)(b+1)(c+1)=5$. Tìm GTLN của: $$P=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2-\min\{a, b, c\})$$
Lời Giải:
Giả sử $c=\min \{a, b, c\}\Rightarrow (c+1)^3\le 5\Rightarrow c\le \sqrt[3]{5}-1$,  đồng thời sử dung C-S ta có: $$\dfrac{5}{c+1}=(a+1)(b+1)\ge (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$$ Ta suy ra: $$\begin{aligned}P=& =(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 -c\\&=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2+2\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) \\& \le \dfrac{5}{c+1} +2\sqrt{\dfrac{5c}{c+1}} \end{aligned}$$
Thực hiện khảo sát hàm $f(c)= \dfrac{5}{c+1} +2\sqrt{\dfrac{5c}{c+1}}$ trên $c\in [0; \sqrt[3]{5}-1]$ ta được $P\le 6$, dấu ''='' đạt được khi $a=b=1, c=\dfrac{1}{4}$. Vậy $$\boxed{\max P=6}$$