Phan Đình Trung

Sunday, June 15, 2014

Các dạng bất đẳng thức

Bài toán 1: Cho

là các số dương. Chứng minh rằng:

Lời giải:

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

Hệ phương trình

Bài toán 1: Giải hệ phương trình:

Lời giải:

Đặt

, phương trình thứ hai trở thành:

Nếu

(0;0) là một nghiệm của hệ.
Nếu

*/

* */

Kết luận: hệ đã cho có nghiệm là (0;0), (-1;-2), (2;1)

Bài toán 2: Giải hệ phương trình sau:

Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với :

Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai, ta được:

TH 1:

, phương trình thứ nhất trở thành:

TH 2:

, thay vào phương trình thứ nhất, ta được:

Kết luận: nghiệm của hệ là (1 ; 2), (-2 ; 5)
Bài toán 3: Giải hệ phương trình:

Lời giải:
Hệ đã cho tương đương với:

TH 1:

TH 2:

TH 3:

, chia vế theo vế của pt thứ nhất cho pt thứ hai, ta được:

thay vào phương trình thứ hai ta được:

, không thỏa mãn.
Kết luận: ( -1; 0), (1; 0)

Bài toán 4: Giải hệ phương trình:

Lời giải:
Điều kiện:

Rõ ràng nếu $x=0$ hoặc $y=0$ thì hệ vô nghiệm.
Nếu

thì vế trái của phương trình thứ hai âm, mẫu thuẫn.
Do đó

. Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

Ta chứng minh:

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

Kết hợp với phương trình thứ hai và chú ý tới bất đẳng thức Cauchy Scharwz :

thì:

suy ra:

Kết luận:

Bài toán 5: Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} x+ \frac 1y = \frac{6y}{x} \\ x^3y^3-4x^2y^2+2xy+5y^3=1 \end{cases}$

Lời giải.

Điều kiện $xy \neq 0$ . Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $xy^2$ ta thu được

$x^2y^2+xy=6y^3 \Rightarrow 5y^3= \dfrac{5(x^2y^2+xy)}{6} \qquad (1)$

Thay vào phương trình thứ hai và rút gọn ta được

$6(xy)^3-19(xy)^2+17xy-6=0 \Leftrightarrow \left( 6x^2y^2-7xy+3 \right) (xy-2)=0 \qquad (2)$

Nhận thấy $6(xy)^2-7xy+3=6 \left( xy- \dfrac{7}{12} \right)^2 + \dfrac{383}{144} >0 \; \; \forall xy \in \mathbb{R}$ .

Do đó $(2) \Rightarrow xy=2$ . Thay $xy$ vào $(1)$ ta được $y^3=1 \Rightarrow y \in \{ 1;-1 \}$ .

Với $y=1$ thì $x=2$ , với $y=-1$ thì $x=-2$ .

Vậy hệ phương trình có nghiệm $(x;y)=(2;1),(-2;-1)$ .

Subscribe to: Posts (Atom)