Các dạng bất đẳng thức

Bài toán 1: Cho  là các số dương. Chứng minh rằng:
                                      
Lời giải:
     
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
                              

                                           
                         
                        
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
                  
                            
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh:
                                
                            

                     
                   
Mặt khác, ta lại có:
                         
                             
Theo bất đẳng thức Cauchy Schawrz, thì
                                                            
Do đó, ta cần chứng minh:
                                
Bất đẳng thức này đúng vì:
                             
                                 
Bài toán được chứng minh.

Bài toán 2: Cho    là ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
                                                      
Lời giải: Để ý rằng:
                         
                                               
                                               
                                               
                                               
    Ta lại có:
                         
Từ đó, bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành:
                         
Điều này tương đương với:
           
           
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
       
           
Bây giờ, ta chứng minh:
  
suy ra 
                  
Do a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác nên:
                                                             (1)
Mặt khác, 
            
                                                              
                                                              
                         (2)
Từ (1) và (2), ta dễ dàng thu được đpcm.
Bài toán 3: (Việt Nam TST 2013) Tìm hằng số  nguyên dương lớn nhất thỏa mãn: Với mọi số thực dương  thỏa mãn  thì:
                                                   
Lời giải:
     Cho    và , với , thay vào bất đẳng thức đã cho, ta được:
                                       
                                 
                                 
                                 
Cho   , ta có ngay    . Bây giờ, ta chứng minh   là giá trị cần tìm. Tức là:  
                                      
 Đặt 
 Không mất tính tổng quát,giả sử  . Xét hiệu:
                               
                             
                            
                            
  Do  và  nên  
                                                   
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
                       
   Từ đây suy ra:
                                          
   Theo nguyên lí dồn biến, ta có ngay :
                                 
   Bài toán được chứng minh.
  Kết luận,  là giá trị cần tìm.  

Bài toán 4: Cho $a, b, c$ là các các số không âm. Chứng minh rằng:
                                    $\left (a+ b+ c \right)^5 \ge 27\left (a^2b+ b^2c+c^2a \right )\left (ab+bc+ ca \right)$
Lời giải:
  Do tính thuần nhất của bài toán nên ta chuẩn hóa cho $a+b+c=3$. Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 
                                           $27\left (a^2b+b^2c+c^a \right)\left (ab+bc+ca \right )\le 9$
Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ là số nằm giữa $a$ và $c$. Khi đó:
                          $c\left (c-b \right)\left (c-a \right)\ge 0\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a\le \left (a^2+ac+c^2 \right)$
Bây giờ, ta cần chứng minh: 
             $b\left (a^2+ac+c^2 \right)\left (ab+bc+ca \right) -9\le 0$
Đặt $x=ca$, từ $b=3-a-c$, ta có:
   $f(x)=b\left [(3-b)^2-x^2 \right]\left [b(3-b)+x \right]-9$
        $=-bx^2+\left (2b^3-9b^2+9b \right )x-b^5+9b^4-27b^3+27b^2-9\le 0$
 Rõ ràng $-b <0$, Xét:
       
          $= 9b\left (b^3-6b^2+9b-4 \right)$
          $= 9b\left (b-1 \right)^2\left (b-4 \right)$
            
            
Do đó, ta có $f(x)<0$. Từ đây dễ dàng suy ra đpcm.

Bài toán 5: Cho $a, b, c$ là các số dương. Chứng minh rằng:
                $\sqrt{abc}\left (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right) +(a+b+c)^2\ge 4\sqrt{3abc(a+b+c)}$
Lời giải:
Do tính thuần nhất của bài toán nên ta chuẩn hóa cho $abc=1$
Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có:
                         $\sqrt{abc}\left (\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right) \ge 3$
 Chú ý tới bất đẳng thức quen thuộc sau: $3abc(a+b+c)\le (ab+bc+ca)^2$
                                                                       $\Rightarrow 4\sqrt{3abc(a+b+c)} \le 4(ab+bc+ca)$
Bây giờ, ta cần chứng minh: $a^2+b^2+c^2+3\ge 2(ab+bc+ca)$
Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có: $a^2+b^2\ge 2ab, c^2+1\ge 2c$. Khi đó, ta cần chỉ ra:
                          $2ab+2c+2\ge 2(ab+bc+ca)$
                      $\Leftrightarrow c(b-1)(a-1)\ge 0$
Bây giờ, chú ý tới $abc=1$, theo nguyên lý $Dirichlet$ tồn tại hai số hoặc cùng lớn hơn $1$, hoặc cùng bé hơn $1$, do đó, bất đẳng thức cuối cùng đúng.
Ta có đpcm.