Phan Đình Trung: Tam thức bậc hai

Saturday, June 7, 2014

Tam thức bậc hai

Bài toán 1 : Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$P=9xy+10yz+11zx$

Lời giải :

Thay $z=1-x-y$ vào $P$ :

$P=9xy+z(10y+11x)=9xy+(1-x-y)(10y+11x)=-11x^2-10y^2-xy+11x+10y$

Hay :

$11x^2x+x(12y-11)+10y^2-10y+P=0$

Coi đây là một tam thức bậc hai theo ẩn $x$ , điều kiện để tồn tại $x$ là :

$\Delta =(12y-11)^2-44(10y^2-10y+P)\geq 0\Leftrightarrow P\leq \dfrac{-296y^2+176y+121}{44}=-\dfrac{74}{11}\left ( y^2-\dfrac{22}{37}y-\dfrac{121}{296} \right )$

Mặt khác sử dụng phương pháp phân tích bình phương, ta được :

$y^2-\dfrac{22}{37}y-\dfrac{121}{296} \geq \dfrac{-5445}{10952}$

Ta suy ra :

$P\leq \dfrac{495}{148}$

Kết luận : $MaxP=\dfrac{495}{148}\Leftrightarrow y=11/37,x=25/74,z=27/74$

Bài toán 2 : Cho các số thực $a,b,c,d$ thỏa mãn $a^2+b^2=1$ và $c+d=3$ . Chứng minh rằng :

$ac+bd+cd\leq \dfrac{9+6\sqrt{2}}{4}$

Lời giải :

Thay $d=3-c$ ta viết biểu thức vế trái thành một tam thức bậc hai ẩn $c$ :

$f(c)=ac+b(3-c)+c(3-c)=-c^2-c(b-a-3)+3b$

Sử dụng tính chất $f(x)=Ax^2+Bx+C\leq \dfrac{4AC-B^2}{4A}$ ta được :

$f(c)\leq \dfrac{-12b-(b-a-3)^2}{-4}=\dfrac{12b+(a-b+3)^2}{4}$

Vậy cần chỉ ra rằng

$\dfrac{12b+(a-b+3)^2}{4}\leq \dfrac{9+6\sqrt{2}}{4}\Leftrightarrow 12b+(a-b)^2+6(a-b)+9\leq 9+6\sqrt{2}\Leftrightarrow (a^2+b^2)+6(a+b)-2ab\leq 6\sqrt{2}\Leftrightarrow 6(a+b)-2ab\leq 6\sqrt{2}-1$

Mà $2ab=(a+b)^2-a^2-b^2=(a+b)^2-1$ nên chứng minh :

$-(a+b)^2+6(a+b)+2-6\sqrt{2}\leq 0\Leftrightarrow a+b\leq \sqrt{2}\;\vee \;a+b\geq 6-\sqrt{2}$

Hiển nhiên vì $a+b\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{2}$

Ta có điều phải chứng minh.

No comments:

Subscribe to: Post Comments (Atom)