Phan Đình Trung

Thursday, June 12, 2014

Bài toán 1: Cho a,b,c là 3 nghiệm của phương trình thỏa mãn
$a < b < c,{x^3} - 3x + 1 = 0$
Chứng minh rằng
${a^2} - c = {b^2} - a = {c^2} - b = 2$
Lời giải

Từ định lý Viète ta có:
$a + b + c = 0$

$ab + bc + ca = - 3$

$abc = - 1$

Từ đó, ta có thể tính được
$({a^2} - 2) + ({b^2} - 2) + ({c^2} - 2) = 0$

$({a^2} - 2)({b^2} - 2) + ({b^2} - 2)({c^2} - 2) + ({c^2} - 2)({a^2} - 2) = - 3$

$({a^2} - 2)({b^2} - 2)({c^2} - 2) = - 1$

Vậy $({a^2} - 2), ({b^2} - 2), ({c^2} - 2)$ cũng là 3 nghiệm của phương trình ${x^3} - 3x + 1 = 0$

Vậy $\left\{ {a,b,c} \right\} = \left\{ {({a^2} - 2),({b^2} - 2),({c^2} - 2)} \right\}$

Ta có:
$a + b + c = 0,a < b < c \Rightarrow c > 0 > a$

$abc = - 1 < 0,c > 0 > a \Rightarrow b > 0$

$c > b > 0 \Rightarrow {c^2} - 2 > {b^2} - 2$

$a = - b - c \Rightarrow {a^2} = {(b + c)^2} = {b^2} + 2bc + {c^2} > {c^2} \Rightarrow {a^2} - 2 > {c^2} - 2$

Vậy
${a^2} - 2 > {c^2} - 2 > {b^2} - 2$

$c > b > a$

$\left\{ {a,b,c} \right\} = \left\{ {({a^2} - 2),({b^2} - 2),({c^2} - 2)} \right\}$

$\Rightarrow {a^2} - 2 = c,{c^2} - 2 = b,{b^2} - 2 = a$

$\Rightarrow {a^2} - c = {b^2} - a = {c^2} - b = 2$

No comments:

Subscribe to: Post Comments (Atom)