Bài toán 4: Cho các số nguyên dương  thỏa mãn

                                          

Chứng minh rằng nếu  là số lẻ và p là số nguyên tố  lẻ thì  là lũy thừa của .

Lời giải: Nếu    chia hết cho  thì suy ra  cũng phải  chia hết cho . Không mất tính tổng quát, giả sử  không chia hết cho . Vì  lẻ nên:

                                       

Giả sử tồn tại ước nguyên tố  của . Khi đó  lẻ và theo định lý L.T.E   ta có:

                             

Vì    nên  , dẫn đến  , tức là  hay . Do đó  

Vì   nên  , do đó   và ta được:

                                            

Gỉa sử  , tức là   . Khi đó

                           

Từ đó suy ra    

Mặt khác,  

suy ra     (đpcm)