Bài 1 Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn với các hệ số lẻ thì không có nghiệm hữu tỉ.
Bài 2 Chứng minh rằng nếu
là một số nguyên tố thì đa thức
bất khả quy trên ![\mathbb{Z}\left [ x \right ] \mathbb{Z}\left [ x \right ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sE0pZToaxIH0w2oDFiYH0gbv6FTY6h96Raa020RXgWkDYr6jUPuD5Qh9fsFh6sqPB81uvjX6L0wA_snRj9605_IN5iduaAB_p-ffvUB6_RCTqGxSlXmaRD0cBBM6zQIh0shiVldB3fzDCeBOJgehlGdeoSSbohUmNzqSWeCJyO0SG8fw=s0-d)
Bài 3 Cho đa thức
. Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một đa thức
bậc
sao cho 
Bài 4 Cho đa thức
. Đặt
. Gọi
là một nghiệm thực của
. Chứng minh rằng 
Bài 5 Cho số nguyên dương
sao cho
là số chính phương. Chứng minh rằng đa thức
không chia hết cho đa thức
với mọi 
Bài 6 Cho đa thức
và thỏa mãn
.
a) Chứng minh rằng ta luôn có 
b) Chứng minh rằng với mọi
thỏa mãn
thì 
Bài 7 Cho đa thức
và thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của ![\left | f(x) \right |,\;\forall x\in \left [ -1,1 \right ] \left | f(x) \right |,\;\forall x\in \left [ -1,1 \right ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s5E9ETnuBL49d7_KnVp2gZy8_7CaF7IwUk9ZYfoSZHjjCN49TKuQ7PpLWArFtG6MDR2oBcoITrjQcpjdt2hgC9O-l0SsYgwdsVFauu_LUqL1PcDSdz-bFjq40w_eZmg6IEvcdrpZQ2pRNA3EqKbLIpoklgqFQMgS9EjzJ7ph2YSA5lUjN3Qu2BTz9VgsisM0URvrguJWjuvOID1XnJukO89SJ4ySjG38foxw=s0-d)
Bài 8 Cho đa thức
thỏa mãn
với mọi
. Chứng minh rằng 
Bài 9 Cho hai đa thức hệ số nguyên
và 
Biết rằng
là một số nguyên tố và
. Gọi
là nghiệm hữu tỉ chung của
và
. Chứng minh rằng
là số nguyên.
Bài 10 Cho đa thức
có tính chất nhận giá trị nguyên với tất cả những giá trị nguyên của
. Xét họ đa thức :
Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên
sao cho
biểu diễn được dưới dạng :
Bài 11 Tìm tất cả các đa thức
nhận
làm một nghiệm. Chứng minh rằng
.
Bài 12 Cho số nguyên tố
và số nguyên
không chia hết cho
. Chứng minh rằng đa thức
bất khả quy trên ![\mathbb{Z}\left [ x \right ] \mathbb{Z}\left [ x \right ]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sE0pZToaxIH0w2oDFiYH0gbv6FTY6h96Raa020RXgWkDYr6jUPuD5Qh9fsFh6sqPB81uvjX6L0wA_snRj9605_IN5iduaAB_p-ffvUB6_RCTqGxSlXmaRD0cBBM6zQIh0shiVldB3fzDCeBOJgehlGdeoSSbohUmNzqSWeCJyO0SG8fw=s0-d)
Bài 13 Cho
là số nguyên dương. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đa thức
khả quy trên
là
chia hết cho 
Bài 14 Cho
là bốn số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng không tồn tại đa thức
bậc ba hệ số nguyên thỏa mãn
.
Bài 15 Chứng minh rằng với mỗi đa thức hệ số nguyên
thì luôn tồn tại một đa thức hệ số nguyên
sao cho hai tập hợp các giá trị của hai đa thức trên tập số nguyên thì rời nhau.
Bài 16 Chứng minh rằng tích hai nghiệm thực của đa thức
là nghiệm của đa thức
.
Bài 17 Cho
số nguyên phân biệt
. Chứng minh rằng đa thức
bất khả quy trên
.
Bài 18 Cho đa thức
với
là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức
không thể biểu diễn được dưới dạng tích của
đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.
Bài 19 Cho số tự nhiên
lớn hơn
. Chứng minh rằng đa thức
bất khả quy trên
.
Bài 20 Cho số tự nhiên
. Chứng minh rằng đa thức
bất khả quy trên
.
Bài 21 Cho đa thức hệ số thực
có ba nghiệm. Chứng minh rằng :
Bài 22 Tìm tất cả các đa thức
có hệ số nguyên và
chia hết cho
với mọi số nguyên
.
Bài 23 Cho
là số thực thỏa mãn điều kiện
. Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên
, đa thức
chia hết cho đa thức
.
No comments:
Post a Comment