Phan Đình Trung: Các bài toán về đa thức

Sunday, June 8, 2014

Các bài toán về đa thức

Bài 1 Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn với các hệ số lẻ thì không có nghiệm hữu tỉ.

Bài 2 Chứng minh rằng nếu $p$ là một số nguyên tố thì đa thức $P=\dfrac{x^p-1}{x-1}$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$

Bài 3 Cho đa thức $P(x)=ax^2+bx+c,\;\left ( a\neq 0 \right )$ . Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất một đa thức $Q(x)$ bậc $n$ sao cho $P\left ( Q(x) \right )\equiv Q(P(x))$

Bài 4 Cho đa thức $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,\;\left ( a_n\neq 0 \right )$ . Đặt $M=max\left | \dfrac{a_i}{a_n} \right |,\forall i=\overline{0,n-1}$ . Gọi $x_0$ là một nghiệm thực của $P(x)$ . Chứng minh rằng $\left | x_0 \right |<1+M$

Bài 5 Cho số nguyên dương $a,b$ sao cho $ab$ là số chính phương. Chứng minh rằng đa thức $x^a+x^b+1$ không chia hết cho đa thức $x^2+x+1$ với mọi $x>1$

b) Chứng minh rằng với mọi $x$ thỏa mãn $\left | x \right |\leq 2$ thì $\left | f(x) \right |\leq 7$

Bài 8 Cho đa thức $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ thỏa mãn $|P(x)|\leq 1$ với mọi $|x|\leq 1$ . Chứng minh rằng $|a|+|b|+|c|+|d|\leq 7$

Bài 9 Cho hai đa thức hệ số nguyên

$P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$

và $Q(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0$

Biết rằng $a_n-b_n$ là một số nguyên tố và $a_{n-1}=b_{n-1}$ . Gọi $m$ là nghiệm hữu tỉ chung của $P(x)$ và $Q(x)$ . Chứng minh rằng $m$ là số nguyên.

Bài 10 Cho đa thức $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ có tính chất nhận giá trị nguyên với tất cả những giá trị nguyên của $x$ . Xét họ đa thức :

$P_0(x)=1$

$P_1(x)=x$

$P_2(x)=\dfrac{x(x-1)}{2!}$

$...$

$P_n(x)=\dfrac{x(x-1)...(x-n+1)}{n!}$

Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $b_0,b_1,...,b_n$ sao cho $P(x)$ biểu diễn được dưới dạng :

$P(x)=b_0P_0(x)+b_1P_1(x)+...+b_nP_n(x)$

Bài 11 Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ nhận $x=1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}$ làm một nghiệm. Chứng minh rằng $degP(x)\geq 6$ .

Bài 12 Cho số nguyên tố $p$ và số nguyên $a$ không chia hết cho $p$ . Chứng minh rằng đa thức $P(x)=x^p-x+a$ bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$

Bài 13 Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đa thức $P(x)=x^n+4$ khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$ là $n$ chia hết cho $4$

Bài 15 Chứng minh rằng với mỗi đa thức hệ số nguyên $x^2+px+q$ thì luôn tồn tại một đa thức hệ số nguyên $2x^2+rx+s$ sao cho hai tập hợp các giá trị của hai đa thức trên tập số nguyên thì rời nhau.

Bài 16 Chứng minh rằng tích hai nghiệm thực của đa thức $x^4+x^3-1$ là nghiệm của đa thức $x^6+x^4+x^3-x^2-1$ .

Bài 17 Cho $n$ số nguyên phân biệt $a_1,a_2,...,a_n$ . Chứng minh rằng đa thức

$P(x)=(x-a_1)^2(x-a_2)^2...(x-a_n)^2+1$

bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$ .

Bài 18 Cho đa thức $P(x)=(x^2-7x+6)^{2n}+13$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ không thể biểu diễn được dưới dạng tích của $n+1$ đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.