Bất đẳng thức thuần nhất

I/ Bất đẳng thức thuần nhất:

Khái niệm: Hàm số  với các biến số thực được gọi là hàm thuần nhất bậc k nếu với mọi số thực t ta có  với t ∈ R\{0} và , . Khi đó,  được gọi là bất đẳng thức bậc k

Ví dụ:    

               

II/ Phương pháp chuẩn hóa:

Ta xét bài toán sau ( Japan 1997):

   Cho  là các số thực dương. Chứng minh rằng:

                              

  Lời giải: Đặt , , , . Khi đó,  và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

                               

Ta sẽ chứng minh  với mọi , thật vậy, khai triển và rút gọn, bất đẳng thức này trở thành  (hiển nhiên đúng)

Tương tự, ta cũng có

                                    

                                    

Cộng ba bất đẳng thức này lại, chú ý tới , ta thu được đpcm

Như vậy, đối với một bất đẳng thức thuần nhất, ta luôn có thể chuẩn hóa cho  hoặc 

Ví dụ 1: (Phạm Kim Hùng) Cho các số thực dương  thỏa mãn . Chứng minh rằng:                                
                                             

Lời giải: Do  nên bất đẳng thức đã cho có thể viết lại thành:

                                             

Ta chứng minh . Bất đẳng thức này tương đương với  (hiển nhiên đúng với )

Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế theo vế, ta có đpcm.

 Ví dụ 2: Cho  là các số thực dương . Chứng minh rằng:

                                   

  Lời giải: Do tính thuần nhất của bài toán nên ta chuẩn hóa cho 

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 

Ta chứng minh ,

$\dfrac{-(18a+9)(a-1)^{2}}{25(2a^{2}-6a+9)}\le 0$, với mọi 

Tương tự, ta cũng thiết lập được bất đẳng thức như trên với a và b. Cộng vế theo vế  các bất đẳng thức cùng chiều, chú ý tới  ta có đpcm.

 Ví dụ 3 (Bất đẳng thức Nesbit): Cho các số dương $a, c$. Chứng minh rằng :

                                                

Hướng dẫn:  chuẩn hóa cho , dùng kĩ thuật cân bằng hệ số để tìm các bất đẳng thức phụ

II/ Phương pháp dồn biến p, q, r:

Tất cả các bất đẳng thức đối xứng ba biến đều có thể qui về dạng . Do đó ta có thể đặt 

1/ Bất đẳng thức Schur:

Với mọi số thực không âm a, b, c, k, ta có:
                         

Bất đẳng thức Schur suy rộng: Với các số thực dương thỏa mãn  và  là các bộ đơn điệu. Khi đó, ta có:

                             

2/ Kĩ thuật dồn biến p, q, r:

Với việc dồn biến p, q, r ta có thể biểu diễn bất đẳng thức Schur bậc 0, 1, 2 có thể biểu diễn lại như sau:

$k=0$  thì 

$k=1$ thì 

$k=2$ thì 

Ví dụ 4: Cho $x, y, z$ không âm, ta có:

                                 

Lời giải: Bất đẳng thức đã cho là thuần nhất nên ta chuẩn hóa cho . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 

Không mất tính tổng quát, giả sử $x=max \left \{x;y;z \right \}$. Xét hàm số
                       với 

Ta có:  vì 

 vì  suy ra . Bất đẳng thức được chứng minh.

Với cách làm tương tự như trên, ta có thể giải quyết được bài toán sau:

1/ Cho  không âm. Chứng minh rằng: 

2/ (IMO 1984) Cho  không âm. Chứng minh rằng:

3/ Cho  không âm. Chứng minh rằng: 

   Ví dụ 5: (Iran 1996) Chứng minh rằng nếu $x, y, z$ dương thì:

                          

Lời giải: Đặt ;  & 

thế thì . Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
                                                 

Biến đổi tương đương ta được:
       

⇔  (hiển nhiên đúng)

Bài toán được chứng minh.