Bổ đề nâng lũy thừa và định lý về số mũ đúng L.T.E

Bài toán 1: Cho  là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng không tồn tại  thỏa mãn:

                                          

Lời giải:  Giả sử tồn tại  thỏa mãn đề bài. Để ý rằng  không chia hết cho  nên      

Từ đó suy ra:                       (1)

Nếu  chia hết cho  thì do  chia hết cho  nên dẫn tới   cũng phải chia hết cho . Vì  nguyên tố lẻ nên ta có   và   , suy ra

                           (Mâu thuẫn với (1) )

Nếu  , thì từ điều kiện bài toán suy ra   . Theo định lý Fermat nhỏ thì ta có

                       (mod p)   (mod p).

Từ đó chú ý tới định lý về số mũ đúng L.T.E  thì

                        Mâu thuẫn với (1).       

Vậy ta có đpcm.

Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố , không tồn tại sao cho

:                                                  

Lời giải:  Với , ta nhận thấy không có giá trị  thỏa mãn bài toán

  Xét . Trước hết ta có bổ đề sau: Nếu  là một số nguyên lẻ thì:   

  Trở lại bài toán, theo bổ đề trên thì      (mod 5)

                                                       ⇒       (mod 5)

  suy ra       , mặt khác     ⇒    (mod 25)

  Ta lại có    

  Tức là      , mâu thuẫn với   

  Từ đó suy ra đpcm.

Bài toán 3:( Ấn Độ 2002) Cho các số nguyên  thỏa mãn:

                                                                   

Chứng minh rằng:       

Lời giải: Gọi  là một ước nguyên tố của 

 Theo giả thiết, ta có:      . Tức là cả ba số đều có ước chung là .

 Đặt    .

  Không mất tính tổng quát, giả sử   

 Do       .

 Tương tự, ta cũng có:     ,    

 suy ra   

 Mặt khác   

                                                                                

Tương tự với các ước nguyên tố khác. Từ đó ta có đpcm.

Bài toán 4:(Nga 1996) Cho các số nguyên dương  thỏa mãn

                                  

Chứng minh rằng nếu  là số lẻ và p là số nguyên tố  lẻ thì  là lũy thừa của .

Lời giải: Nếu    chia hết cho  thì suy ra  cũng phải  chia hết cho . Không mất tính tổng quát, giả sử  không chia hết cho . Vì  lẻ nên:

                                     

Giả sử tồn tại ước nguyên tố  của . Khi đó  lẻ và theo định lý L.T.E   ta có:

                      

Vì    nên  , dẫn đến  , tức là  hay . Do đó  

Vì   nên  , do đó   và ta được:

                        

Gỉa sử  , tức là   . Khi đó

                    

  Từ đó suy ra    

   Mặt khác,  

    suy ra     (đpcm)

Bài toán 5 (Rumani 2010) : Cho số nguyên dương  sao cho tất cả các ước nguyên tố của  đều lớn hơn . Chứng minh rằng:

 chia hết cho 

Lời giải :  Do tất cả ước của  đều lớn hơn  nên .  Gọi  là một ước nguyên tố của . Khi đó 
Sử dụng định lý Fermat  nhỏ, ta có:   (mod p)  (mod p), 
Ta luôn có:
                       
Mặt khác:
         
                                            
Từ đó, ta có đpcm.
Bài toán 6: Cho  là ba số nguyên dương thỏa mãn điều kiện:
                                  
 Chứng minh rằng  là một số chính phương.
Lời giải:
 Theo giả thiết,
                                    
                               
Gọi  là ước nguyên tố tùy ý của , ta có
                                        (1)
Giả sử . Do  nên  
                  (vô lí)
Vậy   
       
                                                                                  (2)
Từ (1) và (2) suy ra . Tức là mọi lũy thừa trong khai triển của  đều là số chẵn, hay  là một số chính phương (đpcm).