Phan Đình Trung: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài toán 1: Trên mặt phẳng tọa độ Descartes vuông góc, cho hình thoi

ngoại tiếp đường tròn

. Biết rằng $AC$ và $AB$ lần lượt đi qua $M(7;8)$ và $N(6;9)$ . Xác định tọa độ đỉnh của hình thoi $ABCD$

Lời giải: Do $(C)$ nội tiếp hình thoi $ABCD$ nên tâm $O$ đường tròn cũng là tâm hình thoi. Từ đó, dễ dàng tìm được $AC: x-y+1=0$

Mặt khác, do

nên

Gọi

là tiếp điểm của

với

. Dễ thấy

vuông tại $H$ nên $H\in (I; \dfrac{ON}{2})$ với $I$ là trung điểm $ON$ . Không mấy khó khăn, ta tính được

và

. Do đó phương trình của

là

Suy ra, $H$ là nghiệm của hệ

Trường hợp 1:

. Có tọa độ điểm $H$ ta dễ dàng tìm được

, từ đây, ta dễ dàng tính được

. tương tự ta có

. Từ đây dễ dàng tính được

và

Trường hợp 2:

, tương tự trường hợp 1, ta tìm được:

Bài toán 2 (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, tỉnh Kiên Giang) : Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Đường thẳng $AC$ có phương trình $3x-y-5=0$ . Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ . $D$ là hình chiếu của $H$ trên cạnh $AC$ , $M$ là trung điểm của $HD$ . Đường thẳng $BD$ qua $E(8,-5)$ . $AM$ có phương trình $11x-7y-5=0$ . Viết phương trình cạnh $AB,BC$ .

Lời giải :

Ta có $2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\left ( \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AD} \right )\left ( \overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HD} \right )=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\left ( \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HD} \right )\overrightarrow{HC}=\left ( \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC} \right )\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HD}=0$

Như vậy thì $AM \perp BD$ .

Đường thẳng $BD$ qua $E(8,-5)$ và vuông góc với $(AM):11x-7y-5=0$ nên nhận $\overrightarrow{n}\left ( 7,11 \right )$ làm một vector pháp tuyến. Suy ra $(BD):7x+11y-1=0$

Vì $\left \{ D \right \}=AC\cap BD$ nên tọa độ điểm $D$ chính là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} 3x-y-5=0\\ 7x+11y-1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow D\left ( \dfrac{7}{5} ,\dfrac{-4}{5}\right )$

Vì $\left \{ A \right \}=AM\cap AC$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} 11x-7y-5=0\\ 3x-y-5=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(3,4)$

Ta có $(HD)$ qua $D(\dfrac{7}{5},\dfrac{-4}{5})$ và vuông góc với $(AC):3x-y-5=0$ nên nhận vector $(1,3)$ làm vector pháp tuyến : $(HD):x+3y+1=0$

Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} 11x-7y-5=0\\ x+3y+1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow M\left ( \dfrac{1}{5},\dfrac{-2}{5} \right )$

Vì $M$ là trung điểm của $HD$ nên dễ tìm được $H\left ( -1,0 \right )$

Đường thẳng $(BC)$ qua $H(-1,0)$ và nhận $\overrightarrow{AH}\left ( -4,-4 \right )$ là một vector pháp tuyến nên $(BC):x+y+1=0$

Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} x+y+1=0\\ 7x+11y-1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow B\left ( -3,2 \right )$

Do đó $(AB):x-3y+9=0$

Kết luận : Phương trình đường thẳng $AB,BC$ lần lượt là $x-3y+9=0,x+y+1=0$ .

Bài toán 3 ( Iran 2001 ): Bên trong hình vuông $ABCD$ , ta dựng các tam giác đều $ABK, BCL, CDM, DAN$ . Chứng minh rằng các trung điểm của $KL, LM, MN, NK$ và các trung điểm của $AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN$ tạo thành một đa giác đều $12$ cạnh.

Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $O$ là tâm hình vuông. Giả sử $A(1;1), B(-1;1), C(-1;-1), D(1;-1)$ . Khi đó, ta dễ dàng tính được: $K(0;-2k), L(2k;0), M(0;2k), N(-2k;0)$ với $k=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ .

Từ đó, ta tính được tọa độ trung điểm $E, F, G, H$ của $KL, ML, MN, NK$ lần lượt là: $(k;-k), (k;k), (-k;k), (-k;-k)$ . Từ đây , suy ra rằng các khoảng cách từ $E, F, G, H$ đến $O$ đều bằng nhau và bằng: $k.\sqrt{2}$ .

Khi đó, vectơ gốc $O$ , điểm mút $E, F, G, H$ lần lượt hợp với trục hoành các góc lần lượt là

Tương tự, từ tọa độ đã xác định được của các điểm trên, ta dễ dàng tính được tọa độ tương ứng của các trung điểm $P, Q, R, S, T, U, V, X$ của các cạnh $AK, BK, BL, CL, CM, DM, DN, AN$ lần lượt là: $(h;j), (-h;j), (-j;h),(-h;-j), (h;-j), (j;-h),(j;h)$ trong đó $h=\dfrac{1}{2}$ , $j=1-\frac{1}{2}\sqrt{3}$

Do đó, các điểm $P, Q, R, S, T, U, V, X$ cách đều $O$ một đoạn bằng $\sqrt{h^2+j^2}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=k\sqrt{2}$

Các điểm này cũng đồng thời là đầu mút của những vectơ gốc $O$ hợp với trục hoành các góc tương ứng là

Xét các góc của tam giác vuông có ba cạnh $h,j,k$ . Góc

giữa $h$ và $k$ có

Như thế,

Tương tự, $12$ điểm nói trên đều cách $O$ và là đầu mút của những vectơ gốc $O$ hợp với trục hoành các góc

Từ đó, dễ dàng suy ra đpcm.

Bài toán 4: Cho hai đường thẳng $a$ và $b$ song song nhau, một đường thẳng $c$ vuông góc với chúng. Ba điểm $A, B, C$ lần lượt thay đổi trên $a, b, c$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ . Tìm quĩ tích chân đường cao $H$ hạ từ $C$ của tam giác $ABC$ .

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $Ox$ là đường thẳng song song và cách đều hai đường thẳng $a, b$ và trục $Oy$ là đường thẳng $c$ . Không mất tính tổng quát, giả sử: $a$ và $b$ lần lượt có phương trình $y-1=0$ và $y+1=0$ . Theo giả thiết, tọa độ của $A, B, C$ lần lượt là $A(m;1), B(n;-1), C(0;p)$ .

và

nên:

Đường thẳng $AB$ có phương trình : $2x+(n-m)y-m-n=0$ . Đường cao hạ từ $C$ có phương trình: $(n-m)x-2y++2p=0$ . Do đó, tọa độ của $H$ là nghiệm của hệ phương trình: