Phan Đình Trung: Phương trình hàm

Sunday, June 8, 2014

Bài 1 : Tìm tất cả các hàm số $\mathbb{R}\rightarrow \setminus \left \{ 0,1 \right \}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f\left ( x \right )+f\left ( \dfrac{x-1}{x} \right )=1+x\;\forall x\in \mathbb{R}\setminus \left \{ 0,1 \right \}$

Bài 2 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f\left ( f(x+y)f(x-y) \right )=x^2-yf(y)\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 3 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn hệ :

$\left\{\begin{matrix} f(3x-1)+g(6x-1)=3x\\ f(x+1)+x^2g(2x+3)=2x^2+7 \end{matrix}\right.$

Bài 4 : Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn hệ :

$\left\{\begin{matrix} f(2x-1)+g(1-x)=x+1\\ f\left ( \dfrac{1}{x+1} \right )+2g\left ( \dfrac{x}{2x+2} \right )=3 \end{matrix}\right.$

Bài 5 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} (x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=8xy(x^4-y^4)\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\\ f\left ( \dfrac{30}{4} \right )=2010 \end{matrix}\right.$

Bài 6 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f((x-y)^2)=f^2(x)-2xf(y)+y^2$

Bài 7 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x^2-y^2)=(x-y)\left ( f(x)+f(y) \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 8 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$xf(x)-yf(y)=(x-y)f(x+y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 9 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x^2)-f(y^2)=(x+y)\left ( f(x)-f(y) \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$

Bài 10 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện :

$f(x^2-y)=xf(x)-f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 11 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ và thỏa mãn :

$f(x)f(yf(x))=f(y+f(x)),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 12 Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f\left ( f(y+f(x)) \right )=f(x+y)+f(x)+y,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

Bài 13 Cho hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và $f$ không đồng nhất $0$ , thỏa mãn :

$2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

a) Chứng minh rằng $f(x)\geq -1,\;\forall x\in \mathbb{R}$

b) Cho biết $f(3)=0$ . Tính $f(1992),f(1995),f(1998)$ .

Bài 14 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(2f(x)-y)=2x+y+6,\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 15 Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x^2+f(y))=y+xf(x),\;\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

Bài 16 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(f(x)+y)=f(x+y)+xf(y)-xy-x+1,\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 17 Tìm hàm số $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn với mọi số thực $x$ :

$f(g(x))=x^2\;\;(1)$ và $g(f(x))=x^3\;\;\;(2)$

Bài 18 Tìm hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x^2+f(y))=y+f^2(x)\;\;\;(1)$

Phan Đình Trung