Bosnia Herzegovina TST 2014

NGÀY THI THỨ NHẤT 10/05/2014

Câu 1

Cho đường tròn k và các điểm A,B trên đường tròn và không phải là hai điểm xuyên tâm đối. Trên cung ABnhỏ, lấy điểm C bất kì. Gọi D và E,F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ C lên dây cung AB và tiếp tuyến của k tại A,B. Chứng minh CD=CE⋅CF−−−−−−−√

Câu 2

Cho a,b và c là các số thực phân biệt.

a) Tìm giá trị của

1+aba−b⋅1+bcb−c+1+bcb−c⋅1+cac−a+1+cac−a⋅1+aba−b

 

b) Tìm giá trị của

1−aba−b⋅1−bcb−c+1−bcb−c⋅1−cac−a+1−cac−a⋅1−aba−b

c) Chứng minh BĐT

1+a2b2(a−b)2+1+b2c2(b−c)2+1+c2a2(c−a)2≥32

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 3

Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm thỏa mãn 7x−2⋅5y=−1

NGÀY THI THỨ HAI- 11/05/2014

Câu 1

Cho dãy số (an) được xác định như sau:

a1=12,am=am−12m⋅am−1+1,∀m>1

Xác định giá trị của a1+a2+...+ak, với k là một số nguyên dương.

Câu 2

Cho đa giác đều n cạnh, n≥6. Có bao nhiêu tam giác bên trong đa giác này sao cho cạnh của chúng được tạo thành từ các đường chéo của đa giác và đỉnh của chúng là đỉnh của đa giác.

Câu 3

Cho D và E là chân đường vuông góc hạ từ A và B của tam giác ABC,F là giao điểm của tia phân giác trong góc C với cạnh AB, còn O,I và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp và trực tâm tam giác ABC. Giả sử CFAD+CFBE=2, Chứng minh rằng OI=IH.

Moldova TST 2014

Day 1 - 03 March 2014

Câu 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm (x,y) sao cho

x+y−−−−−√−x√−y√+2=0

Câu 2. Cho a,b∈R+ thỏa mãn a+b=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

E(a,b)=31+2a2−−−−−−√+240+9b2−−−−−−−√.

Câu 3. Cho △ABC là tam giác nhọn có AD là tia phân giác trong BACˆ với D∈BC. Gọi E và F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ D tới AB và AC. Giả sử BF∩CE=K và ⊙AKE∩BF=Lchứng minh rằng DL⊥BF.

Câu 4. Kí hiệu p(n) là tích tất cả các chữ số khác 0 của n. Chẳng hạn, p(5)=5,p(27)=14,p(101)=1. Tìm ước nguyên tố lớn nhất của:

p(1)+p(2)+p(3)+...+p(999).

Day 2 - 29 March 2014

Câu 1. Cho n(n≥2) số nguyên dương 0<x1≤x2≤...≤xn, thỏa mãn

x1+x2+...+xn=1.

Chứng minh rằng nếu xn≤23 thì tồn tại số nguyên dương 1≤k≤n sao cho:

13≤x1+x2+...+xk<23.

Câu 2. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

E(a,b,c)=∑a3+5a3(b+c).

Câu 3. Cho ABCD là tứ giác toàn phần. Tia phân giác các góc BADˆ và BCDˆ cắt nhau tại K sao cho K∈BD. Gọi M là trung điểm BD. Một đường thẳng đi qua C và song song với AD, cắt AM tại P. Chứng minh rằng △DPC cân.

Câu 4 Cho n(n≥2) điểm phân biệt A1,A2,...,An trên mặt phẳng. Tô màu các trung điểm của các đoạn thẳng tạo bởi mỗi cặp điểm bằng màu đỏ. Có ít nhất bao nhiêu điểm màu đỏ phân biệt?

Day 3 - 30 March 2014

Câu 1. Chứng minh rằng không tồn tại 4 điểm trên mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong đó là một số nguyên lẻ

Câu 2. Tìm tất cả các hàm số f:R→R thỏa mãn:

f(xf(y)+y)+f(xy+x)=f(x+y)+2xy, x,y∈R

Câu 3. Cho △ABC có Aˆ nhọn. Gọi P là điểm nằm trong △ABC sao cho BAPˆ=ACPˆ và CAPˆ=ABPˆ. Đặt M,N lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABP,ACP, và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp △AMN. Chứng minh rằng:

1R=1AB+1AC+1AP.

Câu 4. Người ta viết lên một đường tròn n(n≥1) số thực sao cho tổng của chúng bằng n−1. Chứng minh rằng có thể chọn các số x1,x2,...,xn liên tiếp bắt đầu từ một số nào đó và theo chiều kim đồng hồ sao cho với bất kì số k(1≤k≤n), ta có:

x1+x2+...+xk≥k−1

.

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG trường THPT Chuyên KHTN (ĐHQG HN) năm học 2013-2014

---H

 Ngày thi thứ nhất: Thời gian làm bài 240 phút

Bài 1: Cho dãy số (an) thỏa mãn: a1=3,a2=17,a3=99 và 

an+1=a2n+a2n−1−1an−2

Chứng minh rằng a2014+1 là số chính phương.

Bài 2: Cho tập hợp S=1,2,3,...,2014. Tìm số cách chọn ra từ tập S m số chẵn và n số lẻ sao cho trong các số vừa chọn, không có hai số hơn kém nhau 1 đơn vị.

Bài 3: Cho tam giác ABC, tâm ngoại tiếp O.Phân giác trong góc A cắt cạnh BC tai điểm D. P và Q là 2điểm di chuyển trên đoạn AD sao cho thỏa mãn: CBPˆ=ABQˆ. Gọi R là hình chiếu của Q trên cạnh BC, d là đường thẳng qua R vuông góc với OP. Chứng minh rằng khi P,Q di chuyển trên AD thì các đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4: Có tồn tại hay không một tập hữu hạn các điểm xanh và đỏ trong mặt phẳng sao cho với mọi đường tròn đơn vị có tâm là một điểm xanh đều có đúng 10 điểm đỏ, và số điểm xanh nhiều hơn số điểm đỏ.

 Ngày thi thứ hai:  Thời gian làm bài 240 phút

Bài 1: Tìm các số nguyên m,n thỏa mãn điều kiện 2n2+3|m2−2

Bài 2: Tìm tất cả các hàm số f:R→R thỏa mãn điều kiện sau:

f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)+f(xy)+2xy

với mọi số thực x,y

Bài 3: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O). Gọi M,L,K là tâm đường tròn Ơle các tam giác CDE,EFA,ABC. Gọi X,Y,Z là hình chiếu của M,L,K trên các đường thẳng AD,CF,EB. Chứng minh rằng trung trực các đoạn thẳng AX,CY,EZ đồng quy.

Bài 4: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện

a2+b2+c2≤2

Tìm giá trị lớn nhất của 

A=(|a−b|+6√)(|b−c|+6√)(|c−a|+6√)