Đề thi HSG 12 Đăk Lăk

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                    KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

               ĐẮK LẮK                                              NĂM HỌC 2011 -2012

                                                                MÔN: TOÁN 12 – THPT

                                                               Thời gian: 180 phút (không kể  phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC                                 Ngày thi: 10/11/2011

                                                                    Đề thi có 01 trang

 

Bài 1. (4,0 điểm).

          Cho hàm số có đồ thị là (C):

                                           

        Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) sao cho hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại những điểm đó là giá trị lớn nhất của hàm số:

                                       .

Bài 2. (5,0 điểm).

          Giải các phương trình sau trên tập số thực R:

          1/

                             .

          2/ . 

                                   

Bài 3. (5,0 điểm).

          Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân có AB = AC = a (a là một số thực dương) và mặt bên ACC’A’ là hình chữ nhật có AA’=2a. Hình chiếu vuông góc H của đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm trên đoạn thẳng A’C.

          1/ Chứng minh thể tích của khối chóp A’.BCC’B’ bằng 2 lần thể tích của khối chóp B.ACA’.

          2/ Khi B thay đổi, xác định vị trí của H trên A’C sao cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích lớn nhất.

          3/ Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là lớn nhất, tìm khoảng cách giữa AB và A’C.

Bài 4. (3,0 điểm).

          Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4); C(5;–1) và đường thẳng (d): 2x – 3y + 12 = 0. Tìm điểm M thuộc (d) sao cho  |MA+MB+MC|  nhỏ nhất.

Bài 5(3 điểm).

          Cho m là số nguyên thỏa mãn: 0 < m < 2011. Chứng minh rằng số sau đây là một số nguyên.

                                                            

                                                     ---------------------- HẾT ----------------------