Dãy số

Bài toán 1: Cho dãy số    được xác định như sau:
                     
Chứng minh rằng: nếu  là số nguyên tố lớn hơn 3 thì    .
Lời giải:
Đặt    ,  thế thì:
                     
Xét phương trình:
                                         
                                    
suy ra   
Với    ta có
                      
             
    suy ra     
Ta cần chứng minh : Với mọi  nguyên tố lớn hơn 3 thì:
                          

Thật vậy, do  là số nguyên tố lớn hơn 3 nên theo định lý Fermat nhỏ, ta có
                  (mod n)
                  (mod n)
  suy ra       (đpcm),
 Bài toán 2: Chứng minh rằng với các số nguyên dương phân biệt . Ta luôn có:
                                  
                                   
Lời giải:
    Không mất tính tổng quát, giả sử . Ta chứng minh bài toán bằng qui nạp như sau:
   Với , hiển nhiên đúng 
   Giả sử bất đẳng thức đã cho đúng tới , tức là :
                                      
Ta chứng minh nó cũng đúng với , tức là:
                                    

                                
  Sử dụng giả thiết qui nạp, bây giờ ta cần chứng minh:
                                        
Thật vậy, để ý rằng:
                                
                         
                         
                         
Bất đẳng thức này đúng do  phân biệt và chạy từ  đến . Do đó bất đẳng thức đã cho đúng với , theo nguyên lí qui nạp, ta có đpcm.
Bài toán 3: Xét hai dãy số  và  được xác định như sau:
                           
 Tìm tất cả số tự nhiên  sao cho    là số chính phương.

 Lời giải:

     Để ý rằng:  

                   

                   

  Ta có   

                                        

   suy ra:  

   Do đó    là số chính phương khi và chỉ khi  là số chính phương, tức là  hay  lẻ

   Kết luận:   là số dương lẻ thì   là số chính phương.

Bài toán 4: (Việt Nam 1999) Cho dãy số  được xác định bởi:

                                                      

                 Chứng minh rằng:   

Lời giải:

  Ta có:   

         

   Trước hết, ta cần chỉ ra 

    Với , hiển nhiên đúng.

    Giả sử khẳng định trên đúng tới 

    Ta chứng minh khẳng định trên cũng đúng với . Thật vậy, ta có:

                               

    Do đó, khẳng định trên đúng với , theo nguyên lí qui nạp, khẳng định trên được      chứng minh

    Bây giờ, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành  . Điều này khá đơn giản, ta chỉ cần chứng minh rằng  là dãy tăng. Bài toán được giải quyết hoàn toàn.

Bài toán 4: Cho dãy số thực dương $(a_n)$, với $n=0,1,...$ được xác định bởi:

                                        $a_o=1, a_m<a_n$, với mọi $m, n\in N, m<n$

                                        $a_n=\sqrt{a_{n+1}.a_{n-1}}+1$

                                        $4\sqrt{a_n}=a_{n+1}-a_{n-1}$, với mọi $n\in N*$.

           Tính tổng: $T=a_o+a_1+a_2+...+a_n$

Lời giải:

  Ta có: $1=a_o<a_1<a_2<...$ và :

                                        

                                   

Theo đó, ta có:$\sqrt{a_2}=a_1-1\Rightarrow 4\sqrt{a_1}=(a_1-1)^2$
                                                         $\Leftrightarrow a_1^2-2a_1-4\sqrt{a_1}=0$
  Giải phương trình trên ta tìm được $a_1=4\Rightarrow a_2=9$. Như vậy, ba số hạng đầu của dãy là $1, 4, 9$. Bây giờ ta cần chỉ ra $a_n=(n+1)^2$.
  Với $n=1$, đúng.
   Giả sử khẳng định trên đúng tới $n=k\ge 1$
   Với $n=k+1$, theo giả thiết: 
                                    $4\sqrt{a_k}=a_{k+1}-a_{k-1}\\\Rightarrow 4(k+1)=a_{k+1}-k^2\\\Rightarrow a_{k+1}=(k+2)^2$

Do đó, khẳng định trên đúng với $n=k+1$. Theo nguyên lí qui nạp, khẳng định được chứng minh.

Do đó: $T=1^2+2^2+...+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Đây chính là kết quả bài toán