Phan Đình Trung: Bài tập phương trình nghiệm nguyên

Bài 1 Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ sao cho $4^{x} + 3^{y} = z^{2}$

Bài 2 Tìm tất cả các số tự nhiên lẻ $n$ sao cho $n^{11}+199$ là một số chính phương

Bài 3 Giải phương trình nghiệm nguyên dương $x^{y^{x}}=y^{x^{y}}$

Bài 4 Giải phương trình nghiệm nguyên dương $3^{x}+4^{y}=7^{z}$

Bài 5 Giải phương trình nghiệm tự nhiên $5^{x}=y^{4}+4y+1$

Bài 6 Giải phương trình nghiệm nguyên dương $4^{x}+4^{y}+2^{xy}-2^{x^{2}}-2^{y^{2}}=16$

Bài 7 Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình $2^{a}3^{b}+9=c^{2}$

Bài 8 Chứng minh rằng phương trình sau có vô hạn nghiệm nguyên :

$19x^{2}+5y^{9}+1890z^{1945}=t^{2003}$

Bài 9 Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn $x^{y}=y^{x-y}$

Bài 10 Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}+(x+1)^{2}+(x+2)^{2}+...+(x+1983)^{2}=y^{2}$

Bài 11 Cho trước số nguyên dương $k$ . Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $x^{2}+y^{2}=2011^{2003^{k}+1}(10-z)$

Bài 12 Giải phương trình nghiệm nguyên tố $p_{1}^{6}+p_{2}^{6}+p_{3}^{6}+p_{4}^{6}+p_{5}^{6}+p_{6}^{6}+p_{7}^{6}=p_{1}p_{2}p_{3}p_{4}p_{5}p_{6}p_{7}$

Bài 13 Giải phương trình nghiệm nguyên $x_{1}^{5}+(x_{1}+x_{2})^{5}+(x_{1}+x_{2}+x_{3})^{5}+...+(x_{1}+x_{2}+...+x_{2014})^{5}=2014x_{1}+2013x_{2}+...+2x_{2013}+x_{2014}+2012^{2013}$

Bài 14 Giải phương trình nghiệm nguyên dương $2^{x}3^{y}+5^{z}=7^{t}$

Bài 15 Giải phương trình nghiệm nguyên $2^{a}+8b^{2}-3^{c}=283$

Bài 16 Tìm các số nguyên dương $n$ không phải là bội số của $3$ sao cho $2^{n^{2}-10}+2133$ là lập phương của một số nguyên dương.

Bài 17 Tìm tất cả các số nguyên $x,y,z$ sao cho $5x^{2}-14y^{2}=11z^{2}$

Bài 18 Giải phương trình nghiệm nguyên $x^5 + y^5 + z^5 = t^5 + 5^{2011}$

Bài 19 Giải hệ phương trình nghiệm nguyên $\left\{\begin{matrix} x^{x+y}=y^{12} & & \\ y^{x+y}=x^{3}& & \end{matrix}\right.$

Bài 20 Chứng minh rằng phương trình $(x+y+z)^2=7xyz$ không có nghiệm nguyên dương.

Bài 21 Cho phương trình $(x+y+z)^2=nxyz$ với $n$ là số tự nhiên khác $0$ . Tìm $n$ để phương trình có nghiệm nguyên dương.

Bài 22 Giải phương trình nghiệm nguyên dương $2^x + 3^x + 4^x = y^2$

Bài 23 Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,p$ thỏa mãn phương trình $p^x-y^p=1$ trong đó $p$ là một số nguyên tố

Bài 24 Cho số nguyên tố $p$ và số tự nhiên $n$ . Chứng minh rằng phương trình $\dfrac{x^{2}+x}{y^{2}+y}=p^{2n}$ không có nghiệm nguyên dương.

Bài 25 Chứng minh rằng phương trình $3^{x}=xy+1$ có vô số nghiệm nguyên dương

Bài 26 Tìm số nguyên tố $p$ sao cho $p^3-4p+9$ là một số chính phương.

Bài 27 Chứng minh rằng phương trình $\left \{ x^{2} \right \}+\left \{ y^{2} \right \}=\left \{ z^{2} \right \}$ có vô số nghiệm trên tập $\mathbb{Q}\setminus \mathbb{Z}$

Bài 28 Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho phương trình $x^2+y^2+x+y=kxy$ có nghiệm nguyên dương.

Bài 29 Cho số nguyên tố $p$ và $a,n$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu $2^{p}+3^{p}=a^{n}$ thì $n=1$ .

Bài 30 Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho phương trình $(x+y+z+t)^2=k^2yzt$ có nghiệm nguyên dương.

Bài 31 Chứng minh rằng phương trình $x^{4}-1=(2y+1)^3$ không có nghiệm nguyên dương.

Bài 32 Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho phương trình $2x+2y+z=n$ có tất cả $28$ nghiệm nguyên dương.

Bài 33 Tìm số tự nhiên $a,b$ sao cho $A=3^{9a^2+3a-86}+10$ là số nguyên tố

Bài 34 Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn phương trình $\dfrac{x^7-1}{x-1}=y^5-1$ .

Bài 35 Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $pq \mid p^q+q^p+1$

Bài 36 Tìm các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn đồng thời $p\mid q^r+1\;,\;q\mid r^p+1\;,\;r\mid p^q+1$ .

Bài 37 Tìm số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n\mid 2^n-1$ .

Bài 38 Tìm các số nguyên tố $p,q$ thỏa mãn $pq \mid p^p+q^q+1$ .

Bài 39 Tìm hai số nguyên dương $a,b$ sao cho $a^{3b}=b^{2a^2}$

Bài 40 Cho số nguyên dương $n\geq 2$ . Chứng minh rằng các phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương.

a) $x^{n}+y^{n}=z^{n-1}$

b) $x^{n}+y^{n}=z^{n+1}$

c) $x^{n}+y^{n}+z^n+t^n=w^{n-1}$

Bài 41 Cho trước các số nguyên dương $m,n,p$ . Chứng minh rằng các phương trình sau có vô số nghiệm nguyên dương :

a) $x^2+y^2=(m^2+n^2)^z$

b) $x^{4}+y^4+z^4=(m^2+n^2+p^2)^{t}$

Bài 42 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $x^{x+y}=y^{y-x}$

Bài 43 Giải phương trình nghiệm nguyên $x^{2}+xy=y^2+xz$

Bài 44

a) Chứng minh rằng phương trình $x^4+y^4+z^4=2t^4$ có vô số nghiệm nguyên.

b) Chứng minh rằng phương trình $x^3+y^3+z^3=t^3$ có vô số nghiệm nguyên.

c) Chứng minh rằng phương trình $x^2+xy+y^2=z^3$ có vô số nghiệm nguyên.

Bài 45 Chứng minh rằng nếu $p_1,p_2,....,p_n$ là các số nguyên tố phân biệt thì phương trình $x_1^{p_1}+x_2^{p_2}+....+x_{n-1}^{p_{n-1}}=x_n^{p_n}$ có vô số nghiệm nguyên dương $(x_1,x_2,....,x_n)$

Bài 46 Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^4-2y^2=1$

Bài 47 Cho trước số nguyên dương $k$ . Chứng minh rằng phương trình $x^2+y^2=z^{2k+1}+z$ có vô số nghiệm nguyên mà $(x,y,z)=1$

Bài 48 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,y)$ sao cho $x^4+y^2$ chia hết cho $7^x-3^y$ .

Bài 49 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ phương trình $(x^2+y^2)(u^2+v^2+w^2)=2009^n$ luôn có nghiệm nguyên.

* Một số bài toán tương tự :

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ phương trình $x^2+y^2+z^2=59^n$ luôn có nghiệm nguyên.

2) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ phương trình $x^2+xy+y^2=7^n$ luôn có nghiệm nguyên.

Bài 50 Cho $k,n$ là các số nguyên dương với $n>2$ . Chứng minh rằng phương trình $x^n-y^n=2^k$ không có nghiệm nguyên dương.

Bài 51 Chứng minh với mọi số nguyên dương $n\geq 2$ , phương trình $\left | x^2-17y^2 \right |=4^n$ luôn có nghiệm nguyên $(x,y)$ , trong đó $x,y$ đều lẻ.

* Bài toán tương tự :

Chứng minh với mọi số nguyên dương $n\geq 2$ , phương trình $7x^2+y^2=2^n$ luôn có nghiệm nguyên $(x,y)$ , trong đó $x,y$ đều lẻ.