Translate

Sunday, June 8, 2014

Bài tập phương trình hàm

Bài 1 : Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^* và thỏa mãn :
\left\{\begin{matrix} f(2)=2\\ f(mn)=f(m)f(n),\;\forall m,n\in \mathbb{N}^*\\ f(m)<f(n),\;\forall m<n \end{matrix}\right.
Bài 2 : Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{R} và thỏa mãn :
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y),\;\forall x,y\in \mathbb{Q}
Bài 3 : Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} và thỏa mãn :
\left\{\begin{matrix} f(4)=4\\ f(2m)=2f(m),\;\forall m\equiv 1\;(mod\;2)\\ f(m)<f(n),\;\forall m<n \end{matrix}\right.
Bài 4 : Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{Z}^{+}\rightarrow \mathbb{Z}^{+} sao cho với mọi n\in \mathbb{Z}^{+} ta có :
i)\;\;\;f(n+1)\geq f(n)
ii)\;\;\;f(f(n))=n+2012
Bài 5 : Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^{*} sao cho 
f(m+f(n))=n+f(m+1),\;\forall m,n\in \mathbb{N}^{*}
Bài 6 Tồn tại hay không hàm số f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q} và thỏa mãn :
f(x+f(y))=f(x)-y,\;\forall x,y\in \mathbb{Q}\;\;\;(*)
Bài 7 Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} và thỏa mãn :
f(m+f(n))=f(m+n)+2n+2,\forall m,n\in \mathbb{N}\;\;(1)
Bài 8 Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q} và thỏa mãn :
f(f(x+y)+f(x-y))=2x,\;\forall x,y\in \mathbb{Q}
Bài 9 Cho trước số nguyên dương k. Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^* và thỏa mãn :
i)\;\;f(n+1)>f(n)\;\forall n\in \mathbb{N}^{*}
ii)\;\;f(f(...f(n)...))=n+k,\;\forall n\in \mathbb{N}^{*}  (k lần hàm số f)
Bài 10 Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^* và thỏa mãn :
f(1)+2f(2)+3f(3)+...+nf(n)=\dfrac{n(n+1)}{2}f(n+1)-\dfrac{1}{6}n^3-\dfrac{1}{2}n^2-\dfrac{1}{3}n,\;\;\forall n\in \mathbb{N}^{*}\;\;\;(1)
Bài 11 Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^* và thỏa mãn :
f^3(1)+f^3(2)+...+f^3(n)=\left ( f(1)+f(2)+...+f(n) \right )^2,\;\forall n\in \mathbb{N}^{*}\;\;(1)
Bài 12 Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} và thỏa mãn :
 f(f(n))+f^2(n)=n^2+3n+3,\;\;\forall n\in \mathbb{N}\;\;(1)
Bài 13 Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} và thỏa mãn :
f(f(n))+f(n)=2n+3,\;\;\forall n\in \mathbb{N}\;\;\;(1)
Bài 14 Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^{*} và thỏa mãn :
f(n+f(n))=f(n),\;\forall n\in \mathbb{N}^{*}\;\;\;(1)
cho biết tồn tại n_0\in \mathbb{N}^{*} sao cho f(x_0)=1
Bài 15 Tìm tất cả các hàm sốf:\mathbb{N}^*\rightarrow \mathbb{N}^* và thỏa mãn :
2f^3(m^2+n^2)=f^2(m)f(n)+f(m)f^2(n)
Bài 16 Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} và thỏa mãn :
xf(y)+yf(x)=(x+y)f(x^2+y^2),\;\;\forall x,y\in \mathbb{N}
Bài 17 Chứng minh rằng không tồn tại hàm số f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} và thỏa mãn :
f(f(n))=n+1987,\;\forall n\in \mathbb{N}
Bài 18 Tìm hàm số f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^* và thỏa mãn :
f(f(f(n)))+f(f(n))+f(n)=3n,\;\;\forall n\in \in \mathbb{N}^{*}
Bài 19 Tìm hàm f:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q} thỏa mãn f(1)=2 và :
f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1,\;\forall x,y\in \mathbb{Q}\;\;\;(1)
Bài 20 Cho hàm số f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z} và thỏa mãn các điều kiện sau :
\left\{\begin{matrix} f(1)=1\\ f(n+3)\leq f(n)+3\\ f(n+2012)\geq f(n)+2012 \end{matrix}\right.\forall n\in \mathbb{Z}
Tính giá trị f(2013)
Bài 21 Tìm hàm số f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N} thỏa mãn f(1)=1 và :
f(m+n)+f(m-n)=\dfrac{1}{2}\left [ f(2m)+f(2n) \right ],\;\forall m,n\in \mathbb{N}\;\;\;\;(1)
Bài 22 Tìm hàm số f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^* và thỏa mãn :
\left\{\begin{matrix} f(mn)=f(m)+f(n)\\ f(n)=0,\;\forall n\equiv 3\;(mod\;10)\\ f(10)=0 \end{matrix}\right.
Bài 23 Cho hàm số f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^* và thỏa mãn :
\left\{\begin{matrix} f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333\\ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\;\textbf{hay}\;1 \end{matrix}\right.
Tính f(1982).
Bài 24 Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+ và thỏa mãn :
\left\{\begin{matrix} f(x+1)=f(x)+1\;\;\;\;\;(1)\\ f(x^2)=f^2(x)\;\;\;\;\;\;(2) \end{matrix}\right.,\;\forall x\in \mathbb{Q}^{+}
Bài 25 Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+ và thỏa mãn :
\left\{\begin{matrix} f(x+1)=f(x)+1\;\;\;\;\;(1)\\ f(x^3)=f^3(x)\;\;\;\;\;\;(2) \end{matrix}\right.,\;\forall x\in \mathbb{Q}^{+}
Bài 26 Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+ và thỏa mãn :
\left\{\begin{matrix} f(x+1)=f(x)+1\\ f(x^4)=f^4(x) \end{matrix}\right.,\;\forall x\in \mathbb{Q}^+
Bài 27 Chứng minh rằng không tồn tại hàm số f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow \mathbb{N}^* và thỏa mãn :
f(f(n-1))=f(n+1)-f(n),\;\forall n\geq 2
Bài 28 Tìm hàm số f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Q}^+ và thỏa mãn :
f\left ( x+\dfrac{y}{x} \right )=f(x)+\dfrac{f(y)}{f(x)}+2y,\;\forall x,y\in \mathbb{Q}^+\;\;\;(1)
Bài 29 Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R} và thỏa mãn :
f\left ( \dfrac{x+y}{3} \right )=\dfrac{f(x)+f(y)}{2},\;\forall x,y\in \mathbb{Z},3\mid x+y\;\;\;\;\;\;(1)
Bài 30 Tìm tất cả các hàm số f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z} và thỏa mãn
 f(m+n)+f(mn-1)=f(m)f(n)+2,\;\;\forall m,n\in \mathbb{Z}\;\;\;(1)
Bài 31 Tìm hàm số f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{R} và thỏa mãn :
\left\{\begin{matrix} f(1)=\dfrac{5}{2}\\ f(m)f(n)=f(m+n)+f(m-n),\;\forall m,n\in \mathbb{Z}\;\;\;(1) \end{matrix}\right.
 Bài 32 Tìm hàm số f:\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z} và thỏa mãn :
3f(n)-2f(f(n))=n,\;\forall n\in \mathbb{Z}
Bài 33 Tìm tất cả các hàm số f xác định trên \mathbb{N} và thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :
\left\{\begin{matrix} f(1)=1\\ 2f(n)f(k+n)-2f(k-n)=3f(n)f(k),\;\forall k,n\in \mathbb{N},k\geq n\;\;\;(1) \end{matrix}\right.

được đăng bởi at
Labels:

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)