Phương tích - trục đẳng phương

Bài toán 1 (IMO Shortlist 2008)

Cho tam giác  nhọn trực tâm .  là trung điểm của các cạnh . Đường tròn  cắt  tại . Tương tự ta xác định các điểm . Chứng minh rằng sáu điểm  cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải :

Ta có  vuông góc  do . Mà  đi qua  nên  là trục đẳng phương của .

Từ đó mà :

Ta được tứ giác  nội tiếp. Tương tự ta được các tứ giác nội tiếp .

Ba đường tròn  đôi một có các trục đẳng phương là . Nếu sáu điểm nói trên không cùng thuộc một đường tròn thì sẽ đồng quy mà điều này thì vô lí. Do đó ta được điều phải chứng minh.

Bài toán 2 : Cho tam giác  nhọn với các đường cao  cắt nhau tại . Gọi  lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng  và  ;  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Chứng minh rằng hai đường thẳng  và  vuông góc với nhau.

Lời giải :

Bổ đề : Cho tam giác  có  là tâm đường tròn Euler,  là trực tâm. Gọi  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Khi đó ta có  thẳng hàng.

Chứng minh bổ đề :

Gọi  là đường tròn ngoại tiếp tam giác . Gọi  là giao điểm của tia  với . Dễ dàng chứng minh được hai tam giác  đối xứng nhau qua đường thẳng . Do vậy đường tròn  ngoại tiếp tam giác  đối xứng với đường tròn  ngoại tiếp tam gia  qua 

Suy ra 

Gọi  là trung điểm của . Kẻ đường kính  của . Dễ thấy  là hình bình hành nên . Mà  là trung điểm của  và  đối xứng nhau qua  nên  ( là đường trung bình của tam giác )

Dẫn đến 

Từ  suy ra  là hình bình hành. Vì  là tâm đường tròn Euler của tam giác  nên là trung điểm của , suy ra  là trung điểm của . Điều này chứng tỏ  thẳng hàng.

Bổ đề được chứng minh

Quay trở lại bài toán :

Gọi  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác  tức  là tâm đường tròn  của tam giác .

Dễ thấy tứ giác  nội tiếp nên 

Mà 

Suy ra , tương tự 

Dẫn đến  là trục đẳng phương của  và . Suy ra 

Mà  thẳng hàng (theo bổ đề) nên . Điều phải chứng minh

Bài toán 3 : Cho tam giác  với  lần lượt là hai điểm tùy ý trên các cạnh . Chứng minh rằng khi  di động thì dây chung của hai đường tròn đường kính  luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

Gọi .

Gọi . Gọi .

Dễ thấy rằng  là hai đường cao của tam giác  và  là trực tâm tam giác .

Do tứ giác  nội tiếp nên .

Suy ra  thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn , tức là .

Kết luận : Dây chung  của hai đường tròn đường kính ,  luôn đi qua điểm  cố định, là trực tâm tam giác .

Bài toán 4 : Cho bốn điểm  theo thứ tự đó nằm trên một đường thẳng. Gọi  là các giao điểm của hai đường tròn : đường tròn  đường kính  và đường tròn  đường kính . Lấy là một điểm thuộc đường thẳng ,  cắt  tại  và  cắt  tại . Chứng minh rằng  đồng quy.

Lời giải :

Gọi  là giao điểm của  và .

Dễ thấy  ( là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mặt khác  thuộc  là trục đẳng phương của hai đường tròn nên :

Do đó tứ giác  nội tiếp, suy ra 

Nhưng 

Từ  ta suy ra . Do đó tứ giác  nội tiếp.

Suy ra :   thuộc trục đẳng phương  của hai đường tròn.

Vậy : Các đường thẳng  đồng quy

Bài toán 5 : Cho bốn điểm  theo thứ tự đó nằm trên một đường thẳng. Hai đường tròn có tâm  lần lượt thay đổi qua  và  giao nhau tại . Các tiếp tuyến chung của  tiếp xúc với  tại , tiếp xúc với  tại . Gọi  lần lượt là trung điểm của các đoạn . 

a) Chứng minh rằng các điểm  cùng thuộc một đường thẳng .

b) Chứng minh rằng đường thẳng  luôn đi qua một điểm cố định.

Lời giải :

Ta có  là trục đẳng phương của  và .

Mà , tương tự 

Do đó  thuộc trục đẳng phương của , tức  thuộc đường thẳng .

Dễ dàng thấy , do đó 

Mặt khác thì 

Nhưng  chính là đường trung bình của tam giác  : 

Nên   thẳng hàng, tương tự  thẳng hàng.

Suy ra  cùng thuộc trục đẳng phương là đường thẳng  của .

b) Gọi . Ta chứng minh  cố định.

Vì  thuộc  là trục đẳng phương của  nên 

Đẳng thức này chứng tỏ điểm  cố định, vậy đường thẳng  luôn đi qua một điểm cố định.