Phan Đình Trung: Bài tập phương trình đa thức

Sunday, June 8, 2014

Bài tập phương trình đa thức

Bài 1 : Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} P(x)=\dfrac{1}{2}\left [ P(x+1)+P(x-1) \right ],\;\forall x\\ P(0)=0 \end{matrix}\right.$

Bài 2 : Cho $k\in \mathbb{Z},k>1$ , tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$xP(x-1)\equiv (x-k)P(x)$

Bài 3 : Tìm đa thức hệ số thực sao cho :

$\left\{\begin{matrix} P(x)=\sqrt{P(x^2+1)-32}+32\\ P(2005)=2037 \end{matrix}\right.,\forall x\geq 0$

Bài 4 : Tìm đa thức $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(x-y)+f(y-z)+f(z-x)=2f(x+y+z)$

Với mọi $x,y,z\in \mathbb{R}$ và thỏa mãn $xy+yz+zx=0$

Bài 5 : Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix} P(a+b)=P(a)+7P(b)\\ ab(a+b)=2b^3 \end{matrix}\right.$

Bài 6 : Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=3P(a)+3P(b)+3P(c)$

Với mọi $a,b,c\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a+b+c=0$

Bài 7 Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$P(x)P(y)=P^{2}\left ( \dfrac{x+y}{2} \right )-P^2\left ( \dfrac{x-y}{2} \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 8 Tìm các đa thức có dạng $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ , trong đó $a_i\in \left \{ -1,1 \right \},\;\forall i=\overline{0,n}$ và có các nghiệm đều là nghiệm thực.

Bài 9 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn

$P(x^2)=P^2(x),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Bài 10 Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn :

$P(x^2-2x)=P^2(x-2),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Bài 11 Tìm đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn :

$P(x)P(2x^2-1)=P(x^2)P(2x-1),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Bài 12 Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực và thỏa mãn :

$P^2(x)-2=2P(2x^2-1),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Bài 13 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :

$P(x)P(3x^2)=P(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

Bài 14 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :

$P(x)P(x^2)=P(x^3),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Bài 15 Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ khác đa thức không có hệ số không âm và thỏa mãn :

$P(x).P\left ( \dfrac{1}{x} \right )\leq P^2(1),\;\forall x> 0$

No comments:

Subscribe to: Post Comments (Atom)