Nguyên lí cực hạn

Bài toán 1: Có ba trường học, mỗi trường có  học sinh. Mỗi học sinh quen với ít nhất  từ hai trường khác. Chứng minh rằng ta có thể chọn ra từ mỗi trường một bạn sao cho ba học sinh chọn được đôi một quen nhau.

Lời giải:  Gọi A là học sinh có nhiều bạn nhất ở một trường khác, giả sử số bạn đó là . Giả sử A ở trường thứ nhất và tập hợp những bạn quen A là     ở trường thứ hai. Theo giả thiết, có ít nhất một học sinh C ở trường thứ ba quen với A. Do C quen không quá  học sinh ở trường thứ nhất nên theo giả thiết C quen ít nhất với  học sinh ở trường thứ hai. Đặt    là những học sinh mà C quen ở trường thứ hai .

Dễ dàng nhận ra rằng M và N đều thuộc tập hợp  học sinh và 

                                                    ||+||

do đó  . Ta chọn một bạn B trong tập  thì được ba bạn A, B, C thỏa mãn bài toán. 
Bài toán 2: Trên một bàn cờ vua cỡ  x , ta đặt các quân xe thỏa mãn điều kiện sau: nếu có một  ô  nào  đó  không  có  quân  xe  thì  tổng  các  quân  xe  đứng  cùng   hàng  và  cùng  cột  với  ô  đó không  nhỏ  hơn  .  Chứng  minh  rằng  số  quân  xe  trên  bàn  cờ  không  ít  hơn 
 
Lời giải:
   Vì số đường gồm hàng và cột trên bàn cờ là hữu hạn nên tồn tại một đường N (giả sử là hàng) có số quân xe nhỏ nhất. Gỉa sử số quân xe trên N là . Khi đó trên hàng N có  ô không có quân xe. Từ đó, suy ra trên mỗi cột chứa một ô như thế có ít nhất   quân xe. Như vậy, các cột này chứa ít nhất  quân xe.
   Do tính nhỏ nhất của , trên  cột còn lại, mỗi cột phải chứa ít nhất  quân xe, do đó số quân xe trên  cột này không nhỏ hơn . Vậy số quân xe trên bàn cờ không quá   . Từ đó chú ý tới bất đẳng thức       , 
  Suy ra đpcm.
Bài toán 3: Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương  sao cho bất đẳng thức     thỏa mãn với mọi , trong đó  là tổng tất cả các ước số dương của .

Lời giải: Đặt . Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên dương thỏa mãn bất đẳng thức  với mọi . Gọi  là số lớn nhất trong các số  thỏa mãn điều này. Với mỗi số nguyên dương , đặt:

                                       

Khi đó, . Hơn nữa, do  lớn nhất,                                                                                                                                   

Suy ra . Từ đó, với mọi . Mặt khác, tập hợp các ước số dương của  chứa số  và tất cả các số dạng , với  là ước số dương của . Do đó:

                                                    

Suy ra                

Mâu thuẫn với tính lớn nhất của . Từ đây dễ dàng suy ra đpcm.