Phan Đình Trung: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Saturday, June 7, 2014

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Bài toán 1 (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2011 THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, tỉnh Kiên Giang) : Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ . Đường thẳng $AC$ có phương trình $3x-y-5=0$ . Gọi $H$ là trung điểm của $BC$ . $D$ là hình chiếu của $H$ trên cạnh $AC$ , $M$ là trung điểm của $HD$ . Đường thẳng $BD$ qua $E(8,-5)$ . $AM$ có phương trình $11x-7y-5=0$ . Viết phương trình cạnh $AB,BC$ .

Lời giải :

Ta có $2\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\left ( \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AD} \right )\left ( \overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HD} \right )=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\left ( \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HD} \right )\overrightarrow{HC}=\left ( \overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC} \right )\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{HD}=0$

Như vậy thì $AM \perp BD$ .

Đường thẳng $BD$ qua $E(8,-5)$ và vuông góc với $(AM):11x-7y-5=0$ nên nhận $\overrightarrow{n}\left ( 7,11 \right )$ làm một vector pháp tuyến. Suy ra $(BD):7x+11y-1=0$

Vì $\left \{ D \right \}=AC\cap BD$ nên tọa độ điểm $D$ chính là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} 3x-y-5=0\\ 7x+11y-1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow D\left ( \dfrac{7}{5} ,\dfrac{-4}{5}\right )$

Vì $\left \{ A \right \}=AM\cap AC$ nên tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} 11x-7y-5=0\\ 3x-y-5=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow A(3,4)$

Ta có $(HD)$ qua $D(\dfrac{7}{5},\dfrac{-4}{5})$ và vuông góc với $(AC):3x-y-5=0$ nên nhận vector $(1,3)$ làm vector pháp tuyến : $(HD):x+3y+1=0$

Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ $\left\{\begin{matrix} 11x-7y-5=0\\ x+3y+1=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow M\left ( \dfrac{1}{5},\dfrac{-2}{5} \right )$