Phương trình hàm

Bài toán 1: (HSG vòng 2 _ Long An) Tìm tất cả hàm số   thỏa mãn :

         

         

  a/  Tính . Chứng minh  là hàm số lẻ.

  b/  Tìm tất cả hàm  thỏa mãn bài toán.

Lời giải:

  a/ Cho  , ta có ngay  

      Với 

      Với  

     Cho 

     Cho  

      Với    . Suy ra  là hàm lẻ.

b/  Đặt   

     Điều kiện bài toán trở thành:     

                                                    

     Vế phải là một đa thức với bậc 4, nên nhận thấy  phải là một hàm đa thức với bậc không lớn hơn 3. Suy ra   phải có dạng   

      Thay vào (*), ta được

                       

Đồng nhất hệ số hai vế, ta được

                                            

Suy ra 

                                            

Thử lại, ta thấy thỏa mãn. Vậy 

                                             
Bài toán 2:Tìm hàm số    thỏa mãn:
                  
Lời giải:
   Cho    ,  ta có
                           
                         
    Cho    thế thì
                          
                                                           (1)
    Cho   ,  ta có:
                                                      
    Cho    , ta được:
                               
                                                                                       (2)
Từ (1) & (2) ta có:
                                                       .