Bài toán 1 (Bosnia Herzegovina Team Selection Test 2012)
Cho các số dương
thỏa
. Chứng minh :
Lời giải :
Ta cần chỉ ra :
Dễ thấy đã có :
Nên ta sẽ chứng minh :
Mà ta lại có :
Nên chỉ cần chứng minh :
Điều này đúng theo AM-GM. Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 2 (Chọn đội tuyển Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh)
Cho
. Chứng minh rằng :
Lời giải :
Đặt
thì
và
. Cần chứng minh :
Theo BĐT Minkowski :
Ta cần chứng minh :
Điều này luôn đúng theo AM-GM :
Bài toán 3(Chọn đội tuyển VMO THPT Chuyên Đại học Sư phạm, ĐHQG Hà Nội 2012-2013)
Cho
thỏa
. Chứng minh rằng :
Lời giải :
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
Hơn nữa theo bất đẳng thức Minkowski ta có :
Vậy nên ta chỉ cần chứng minh :
Thế nhưng đơn giản đây chỉ là một đẳng thức :
Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 4 (Chọn học sinh giỏi THPT Chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội năm 2011-2012)
Cho các số dương
thỏa mãn
. Chứng minh rằng :
Lời giải :
Ta có :
Do vậy ta cần chứng minh :
Ta sẽ chứng minh từng kết quả sau :
Theo AM-GM :
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng lại theo vế :
Như vậy
được chứng minh.
Ta chứng minh
như sau. Đổi biến
với
và
.
Bất đẳng thức
tương đương với :
Theo Cauchy-Schwarz :
Chỉ cần chỉ ra được :
Ta có :
Và theo BĐT Chebyshev thì :
Như vậy
cũng được chứng minh. Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 5 : Cho các số dương
thỏa mãn
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Lời giải :
Ta sẽ chứng minh :
Thật vậy, theo AM-GM :
Cộng vế theo vế hai kết quả trên, ta được
. Từ đó chú ý đẳng thức :
Ta áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :
Vậy ta kết luận là 
Bài toán 6 : Cho các số dương
thỏa mãn
. Chứng minh rằng :
Lời giải :
Ta đặt
thì được
và
. Bất đẳng thức cần chứng minh viết thành :
Theo Cauchy-Schawz :
Ta cần chỉ ra rằng :
Thế nhưng đây đơn giản chỉ là một đẳng thức :
Hiển nhiên. Ta có điều phải chứng minh.
Bài toán 7 : Cho các số dương
. Chứng minh bất đẳng thức sau :
Lời giải :
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz :
Cộng vế theo vế ba kết quả trên, ta được điều phải chứng minh
No comments:
Post a Comment