Phan Đình Trung: Định lý về số mũ đúng

Sunday, June 8, 2014

Định lý về số mũ đúng

Kí hiệu. $b|a$ nghĩa là $a$ chia hết cho $b$ , còn $b \nmid a$ nghĩa là $a$ không chia hết cho $b$ .

Định nghĩa. Cho $p$ là số nguyên tố, $a$ là số nguyên và $\alpha$ là số tự nhiên. Ta có $p^{\alpha}$ là lũy thừa đúng (exact power) của $a$ và $\alpha$ là số mũ đúng (exact exponent) của $p$ trong khai triển của $a$ nếu $p^{\alpha}|a$ và $p^{\alpha+1} \nmid a$ . Khi đó ta viết $p^{\alpha} \parallel a$ hay $v_p(a)= \alpha$ .

Ví dụ. Ta có $v_5(5400)=3$ vì $5^3|5400$ và $5^4 \nmid 5400$ .

Tính chất. Với $a,b,c$ là các số nguyên, $p$ là số nguyên tố thì:

$v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)$ .
$v_p( a^n)=n \cdot v_p(a)$ .
$\min \{ v_p(a),v_p(b) \} \le v_p(a+b)$ . Dấu đẳng thức xảy ra khi $v_p(a) \ne v_p(b)$ .
$v_p( \gcd (|a|,|b|,|c|))= \min \{ v_p(a),v_p(b),v_p(c) \}$ .
$v_p( \text{lcm} (|a|,|b|,|c|))= \max \{ v_p(a),v_p(b),v_p(c) \}$ .

II. Định lí về số mũ đúng (LTE)

Cho $p$ là số nguyên tố, $x,y$ là hai số nguyên không chia hết cho $p$ . Khi đó

a) Với mọi số nguyên dương $n$ thì

Nếu $p \ne 2$ và $p|x-y$ thì $v_p(x^n-y^n)=v_p(x-y)+v_p(n)$ .
Nếu $p=2$ và $4|x-y$ thì $v_2(x^n-y^n)=v_2(x-y)+v_2(n)$ .
Nếu $p=2$ và $2|x-y$ , $n$ chẵn thì $v_2(x^n-y^n)=v_2(x^2-y^2)+v_2(n)-1$ .

b) Nếu $n$ là số nguyên dương lẻ, nếu $p|x+y$ thì $v_p(x^n+y^n)=v_p(x+y)+v_p(n)$ .

Chú ý. Để chứng minh $b|a$ thì ta cần chứng minh $v_p(a) \ge v_p(b)$ với $p$ là ước nguyên tố của $b$ . Hay nói cách khác, $b|a \Leftrightarrow v_p(a) \ge v_p(b)$ .

III. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho $k$ là số nguyên dương. Tìm mọi số nguyên dương $n$ thỏa mãn $3^k|2^n-1$ .

Lời giải. Với $n$ lẻ thì $2^n-1 \equiv 1 \pmod{3}$ nên không thể chia hết cho $3$ , trường hợp này loại.

Với $n$ chẵn thì đặt $n=2m$ với $m \in \mathbb{N}^*$ . Khi đó $2^n-1=4^m-1$ . Áp dụng bổ đề LTE ta có $v_3(4^m-1)=v_3(4-1)+v_3(m)=1+v_3(m)$ . Để $3^k|4^m-1$ thì $v_3(4^m-1) \ge k$ hay $v_3(m) \ge k-1$ . Do đó $m=3^{k-1} \cdot h$ với $h \in \mathbb{N}^*$ .

Vậy $n=2 \cdot 3^{k-1} \cdot h$ với $h \in \mathbb{N}^*$ .

Ví dụ 2. (UNESCO Competition 1995) Cho $a,n$ là hai số nguyên dương và cho $p$ là số nguyên tố lẻ sao cho $a^p \equiv 1 \pmod{p^n}$ . Chứng minh $a \equiv 1 \pmod{p^{n-1}}$ .

Lời giải. Theo đề bài ta suy ra $\gcd (a,p)=1$ . Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta có $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$ . Do đó $a^p \equiv a^{p-1} \pmod{p}$ . Mà vì $\gcd(a,p)=1$ nên $p|a-1$ . Ta áp dụng bổ đề LTE thì