Đề tuyển sinh vào lớp 10_chuyên Quốc học Huế

Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán Quốc Học, Huế năm 2012

Bài 1. (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình: 

Bài 2. (2,0 điểm)
Cho các số thực  thỏa mãn .
Chứng minh rằng: 

Bài 3. (2,0 điểm)
Cho hai đường tròn  và  cắt nhau tại  sao cho đoạn thẳng  cắt đường thẳng . Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn  tại , tiếp xúc với  tại  và sao cho khoảng cách từ  đến  lớn hơn khoảng cách từ  đến . Đường thẳng qua  song song với đường thẳng  cắt đường tròn  thêm điểm  và cắt đường tròn  thêm điểm . Tia  cắt tia  tại . Đường thẳng  cắt các tia  lần lượt tại .
a) Chứng minh tứ giác  nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác  cân.

Bài 4. (2,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên dương lẻ  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
 và .
b) Chứng minh tồn tại  số nguyên dương 
sao cho:  và .

Bài 5. (2,0 điểm)
a) Chứng minh rằng diện tích của những tứ giác có các đỉnh nằm trong hoặc trên một đường tròn bán kính  luôn nhỏ hơn hoặc bằng 
b) Cho  là các số thực dương thay đổi sao cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của .