Đề thi tuyển lớp 10 DHSP Hà Nội

VÒNG 1

Câu 1:(2 điểm): Cho các số thực dương a,b với a≠b.Chứng minh đẳng thức sau:

(a−b)3(a√−b√)3−bb√+2aa√aa√−bb√+3a+3ab−−√b−a=0

Câu 2 (2 điểm) Cho quãng đường AB dài 120 km. Lúc 7 h sáng, một xe máy đi từ A đến B. Đi được 34quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại sửa mất 10 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11 giờ 40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc của xe máy trên 34 quãng đường ban đầu không thay đổi và vận tốc của xe máy trên 14 quãng đường còn lại cũng không thay đổi. hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ.

Câu 3 (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P):y=x2 và đường thẳng

d:y=−23(m+1)x+13,(với m là tham số )

1. Chứng minh rằng với mỗi giá trị của m đường thẳng d cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt.

2. Gọi x1,x2 là hoành dộ các giao điểm của d và (P), đặt f(x)=x3+(m+1)x2−x. Chứng minh đẳng thức

f(x1)−f(x2)=−12(x1−x2)3

     

Câu 4 (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AC=2R.Gọi K và M theo thứ tự là chân các đường cao hạ từ A và C xuống BD, E là giao điểm của AC và BD, biết K thuộc đoạn BE(K≠B,K≠E).Đường thẳng qua K song song với BC cắt AC tại P.

1. Chứng minh tứ giác AKPD nội tiếp

2. Chứng minh KP⊥PM

3. Biết ABDˆ=60∘ và AK=x.Tính BD theo R và x.

                                                                  

Câu 5 (1 điểm) Giải phương trình 

x(x2−56)4−7x−21x+22x3+2=4

VÒNG 2

Câu 1 (1,5 điểm). Giả sử a,b,c,x,y,z là các số thực khác 0 thỏa mãn: ax+by+cz=0 và xa+yb+zc=1. Chứng minh rằng:

x2a2+y2b2+z2c2=1

Câu 2 (1,5 điểm). Tìm tất cả các số thực x,y,z thỏa mãn:

x1−y2−−−−−√+y2−z2−−−−−√+z3−x2−−−−−√=3

Câu 3 (1,5 điểm). Chứng minh rằng với số nguyên dương n≥6 thì số:

an=1+2.6.10...(4n−2)(n+5)(n+6)...(2n)

là một số chính phương.

Câu 4 (1,5 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:

1ab+a+2+1bc+b+2+1ca+c+2≤34

Câu 5 (3 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O. Gọi M là trung điểm AB. Các điểm N,P lần lượt thuộc các cạnh BC,CD sao cho MN//AP. Chứng minh:
1) Các tam giác BNO,DOP đồng dạng và NOPˆ=45o
2) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NOP thuộc OC.
3) Ba đường thẳng BD,AN,PM đồng qui.

Câu 6 (1 điểm). Có bao nhiêu tập hợp con A của tập hợp {1;2;3;...;2004} thỏa mãn điều kiện: A có ít nhất 2 phần tử và nếu x∈A,y∈A,x>y thì x2x−y∈A