Định lý Casey:Cho bốn đường tròn  . Kí hiệu   là độ dài của tiếp tuyến hai đường tròn   và  . Khi đó, bốn đường tròn  cùng tiếp xúc với một đường tròn (hoặc một đường thẳng) C khi và chỉ khi 

                                                        

Bài toán 1:  Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi   lần lượt là các đường tròn tiếp xúc trong với (O) tại điểm chính giữa cung nhỏ BC, CA, AB và lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB. Gọi  là độ dài tiếp tuyến chung ngoài của các cặp đường tròn . Chứng minh rằng 

                                                  

              

               

Lời giải: 

   Gọi    là độ dài các tiếp tuyến kẻ từ A, B, C với   . Dễ dàng nhận ra rằng ba đường tròn trên lần lượt tiếp xúc với BC, CA, AB tại trung điểm mỗi đoạn. Áp dụng định lý Casey, ta có:

                                

Tương tự, ta cũng có: 

                                 

                                 

                      

Từ đó suy ra đpcm.

Bài toán 2: ( định lý Feuerbach) Chứng minh rằng  đường tròn chín điểm Euler của tam giác tiếp xúc với các đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của tam giác đó

Lời giải: (Trường hợp đường tròn nội tiếp)

  Xét tam giác ABC với   lần lượt là trung điềm của các cạnh  BC, CA, AB;   lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với BC, CA, AB. Đặt độ dài các cạnh tam giác ABC lần lượt là a, b, c. Sử dụng định lý Casey, ta có:

                                                

Do đó, tồn tại đường tròn tiếp xúc với (I),  hay đường tròn Euler của tam giác ABC tiếp xúc với (I)