Phan Đình Trung: Phương trình hàm đa thức

Bài toán 1 (Albania TST 2009)

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ khác đa thức không có hệ số không âm và thỏa mãn :

$P(x).P\left ( \dfrac{1}{x} \right )\leq P^2(1),\;\forall x> 0$

Lời giải :

Dễ thấy đa thức đồng nhất hằng số khác không thoả mãn.

Gỉa sử $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\;\;\;(a_n\neq 0,a_i\geq 0,\;\forall i=\overline{0,n})$

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

$P(x)P\left ( \dfrac{1}{x} \right )=\left ( a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \right )\left ( a_n.\dfrac{1}{x^n}+a_{n-1}.\dfrac{1}{x^{n-1}}+...+a_1.\dfrac{1}{x} +a_0\right )\geq (a_n+...+a_1+a_0)^2=P^2(1)$

Kết hợp với giả thiết đề bài ta được :

$P(x).P\left ( \dfrac{1}{x} \right )=P^2(1),\;\forall x> 0$

Hay tương đương :

$\left ( a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0 \right )\left ( a_n+a_{n-1}x+...+a_1x^{n-1} +a_0x^n\right )=(a_0+a_1+...+a_n)^2x^n,\;\forall x> 0$

Đồng nhất hệ số của $x^n$ ở hai vế :

$a_0^2+a_1^2+...+a_n^2=(a_0+a_1+...+a_n)^2\Leftrightarrow \underset{0\leq i\leq j\leq n }{\sum} a_ia_j=0\Leftrightarrow a_0=a_1=...=a_{n-1}=0$

Từ đó thu được $P(x)=ax^n,\;\forall x> 0$ .

Đáp số bài toán là :

$P(x)\equiv a=const\;(a\neq 0),P(x)=ax^n,\;\forall x> 0$

Bài toán 2 : Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :

$P(x)P(x^2)=P(x^3),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Lời giải :

Nếu $P(x)$ đồng nhất hằng số thì dễ thấy $P(x)\equiv 0,P(x)\equiv 1$ là thỏa mãn. Xét $degP(x) \geq 1$ .

Đặt $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\;\;\;\;(a_n\neq 0)$ .

Ta đi chứng minh $a_0=a_1=...=a_{n-1}=0$ . Gỉa sử phản chứng là một trong các số đó khác $0$ .

Gọi $k$ là số lớn nhất thỏa mãn $a_k\neq 0$ . Ta có :

$P(x).P(x^2)=(a_nx^n+a_kx^k+...+a_1x+a_0)(a_nx^{2n}+a_kx^{2k}+...+a_1x^2+a_0)$

$P(x^3)=a_nx^{3n}+a_kx^{3k}+...+a_1x^3+a_0$

Đồng nhất hệ số của $x^{2n+k}$ ở hai vế ta có : $a_na_k=0$ , đây là điều mâu thuẫn.

Từ đó giả sử phản chứng sai, ta phải có $a_0=a_1=...=a_{n-1}=0$ .

Dễ dàng suy ra được $P(x)=x^n,\;\forall x\in \mathbb{R}$ .

Đáp số của bài toán là :

$P(x)\equiv 0,P(x)\equiv 1,P(x)=x^n,\;\forall x\in \mathbb{R}$

Bài toán 3 : Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn :

$P(x)P(3x^2)=P(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;\;(1)$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $x=0$ được $P(0)=0$ hoặc $P(0)=1$ .

Nếu $P(0)=0$ , ta đặt $P(x)=x^k.Q(x)$ trong đó $Q(x)\in \mathbb{R}\left [ x \right ],Q(0)\neq 0$ . Thay vào $(1)$ :

$x^k.Q(x).(3x^2)^k.Q(3x^2)=(3x^3+x^2)^k.Q(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 3x^k.Q(x).Q(3x^2)=(3x+1)^k.Q(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;(2)$

Trong $(2)$ lấy $x=0$ được $Q(0)=0$ . Mâu thuẫn với cách đặt. Từ đó ta được $P(x)\equiv 0$ .

Nếu $P(0)=1$ , ta đặt $P(x)=x^k.Q(x)+1$ trong đó $Q(x)\in \mathbb{R}\left [ x \right ],Q(0)\neq 0$ . Thay vào $(1)$ :

$\left [ x^k.Q(x)+1 \right ]\left [ 3^k.x^{2k}.Q(3x^2)+1 \right ]=(3x^3+x^2)^k.Q(3x^3+x^2)+1,\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow x^{3k}.3^k.Q(x).Q(3x^2)+x^k.Q(x)+3^k.x^{2k}.Q(3x^2)=(3x^3+x^2)^k.Q(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow x^{2k}.3^k.Q(x).Q(3x^2)+Q(x)+3^k.x^k.Q(3x^2)=(3x^2+x)^k.Q(3x^3+x^2),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;(3)$

Trong $(3)$ ta lấy $x=0$ thì $Q(0)=0$ . Mâu thuẫn với cách đặt. Từ đó ta được $P(x)\equiv 1$

Có hai đa thức hằng thỏa mãn đề bài là $P(x)\equiv 0$ , $P(x)\equiv 1$

Bài toán 4: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực và thỏa mãn :

$P^2(x)-2=2P(2x^2-1),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Lời giải :

Đặt $P(1)=a$ , trong $(1)$ cho $x=1$ :

$P^2(1)-2P(1)-2=0\Leftrightarrow P(1)=a=1\pm \sqrt{3}$

Đặt $P(x)=(x-1)^k.Q(x)+a$ trong đó $Q(x)\in \mathbb{R}\left [ x \right ],Q(1)\neq 0$ . Thay vào $(1)$ :

$\left [ (x-1)^k.Q(x)+a \right ]^2-2=2\left [ (2x^2-2)^k.Q(2x^2-1)+a \right ],\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow (x-1)^{2k}Q^2(x)+2a(x-1)^k.Q(x)+a^2-2=2^{k+1}(x-1)^k.(x+1)^k.Q(2x^2-1)+2a,\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow (x-1)^k.Q^2(x)+2aQ(x)=2^{k+1}(x+1)^k.Q(2x^2-1),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;(2)$

Trong $(2)$ lại cho $x=1$ được :

$2aQ(1)=2^{2k+1}Q(1)\Leftrightarrow Q(1)=0$

Mâu thuẫn với cách đặt trên. Từ đó ta có : $P(x)\equiv a=1\pm \sqrt{3}$

Bài toán 5 (Romania 2001)

Tìm đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn :

$P(x)P(2x^2-1)=P(x^2)P(2x-1),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Lời giải :

Dễ thấy đa thức hằng thỏa mãn.

Ta có :

$\dfrac{P(x)}{P(2x-1)}=\dfrac{P(x^2)}{P(2x^2-1)}=\dfrac{P(x^4)}{P(2x^4-1)}=...=\dfrac{P(x^{2^k})}{P(2x^{2^k}-1)}$

Hơn nữa ta có :

$\underset{k\rightarrow \rightarrow +\infty }{\lim}\dfrac{P(x^{2^k})}{P(2x^{2^k}-1)}=\dfrac{1}{2^n}$

Với $n=degP(x)$ .

Từ đó suy ra :

$2^nP(x)=P(2x-1)\Leftrightarrow 2^nP(x+1)=P(2x+1)$

Đặt $P(x+1)=Q(x)$ ta được :

$2^nQ(x)=Q(2x),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Đặt $Q(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\;\;\;(a_n\neq 0)$

Ta được :

$2^n(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0)=a_n(2x)^n+a_{n-1}(2x)^{n-1}+...+a_1.2x+a_0,\;\forall x\in \mathbb{R}$

Đồng nhất hệ số của $x^i,\;\forall i=\overline{0,n-1}$ ta suy ra $a_i=0,\;\forall i=\overline{0,n-1}$

Dẫn đến :

$Q(x)=ax^n,\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow P(x)=a(x-1)^n,\;\forall x\in \mathbb{R}$

Như vậy đáp số bài toán là :

$P(x)\equiv const,P(x)=a(x-1)^n,\;\forall x\in \mathbb{R},a=const,n\in \mathbb{N}^*$

Bài toán 6 : Tìm tất cả các đa thức thỏa mãn :

$P(x^2-2x)=P^2(x-2),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Lời giải :

Bổ đề : Nếu $P(x)$ là đa thức thỏa mãn $P(x^2)=P^2(x),\;\forall x\in \mathbb{R}$ thì $P(x)\equiv 0,P(x)\equiv 1,P(x)\equiv x^n,\;\left ( n\in \mathbb{N}^* \right )$

Chứng minh bổ đề :

Nếu $P(x)$ đồng nhất hằng số thì ta dễ thấy $P(x)\equiv 0,P(x)\equiv 1$

Nếu $degP(x) \geq 1$ thì đặt $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\;\;\;(a_n\neq 0)$ .

Ta đi chứng minh $a_{n-1}=a_{n-2}=...=a_1=a_0=0$ . Gỉa sử ngược lại, một trong các số $a_i\neq 0,\;\forall i=\overline{0,n-1}$ .

Gọi $k<n$ là số lớn nhất sao cho $a_k\neq 0$ . Ta có :

$P(x^2)=a_nx^{2n}+a_{k}x^{2k}+...+a_1x^2+a_0$

$P^2(x)=\left ( a_nx^n+a_{k}x^{k}+...a_1x+a_0 \right )^2$

Đồng nhất hệ số của $x^{n+k}$ ta có :

$2a_na_k=0$

Đây là điều mâu thuẫn. Và do đó $a_0=a_1=...=a_{n-1}=0$ . Từ đó dễ dàng chỉ ra được $P(x)=x^n,\;\forall x\in \mathbb{R}$ .

Bổ đề được chứng minh.

Trở lại bài toán :

Ta có :

$P(x^2-2x)=P^2(x-2)\Leftrightarrow P\left [ (x-1)^2-1 \right ]=P^2\left [ (x-1)-1 \right ]$

Do vậy nếu ta đặt $Q(x)=P(x-1)$ thì :

$Q(x^2)=Q^2(x),\;\forall x\in \mathbb{R}$

Theo bổ đề ta được :

$P(x)\equiv 0,P(x)\equiv 1,P(x)=(x+1)^n,\;\forall x\in \mathbb{R}$

Bài toán 7 : Tìm các đa thức có dạng $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$ , trong đó $a_i\in \left \{ -1,1 \right \},\;\forall i=\overline{0,n}$ và có các nghiệm đều là nghiệm thực.

Lời giải :

Gọi $x_1,x_2,...,x_n$ là $n$ nghiệm thực của $P(x)$ . Ta xét $a_n=1$ .

Theo định lí $Viete$ :

$\left\{\begin{matrix} x_1+x_2+...+x_n=\dfrac{-a_{n-1}}{a_n}=-a_{n-1}\\ x_1x_2...x_n=(-1)^n.\dfrac{a_0}{a_n}=(-1)^n.a_0 \end{matrix}\right.$

Do đó :

$x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=(x_1+x_2+...+x_n)^2-2\underset{0\leq i<j\leq n}{\sum} x_ix_j=1-2a_{n-2}\geq 0\Leftrightarrow 2a_{n-2}\leq 1\Rightarrow a_{n-2}=-1$

Từ đó $x_1^2+x_2^2+...+x_n^2=3$ .

Áp dụng BĐT $AM-GM$ :

$3=x_1^2+x_2^2+...+x_n^2\geq n\sqrt[n]{(x_1x_2...x_n)^2}=n\Rightarrow n\leq 3$

Với $n=1$ ta được $P(x)\in \left \{ x+1,x-1 \right \}$

Với $n=2$ ta được $P(x)\in \left \{ x^2-x-1,x^2+x-1 \right \}$

Với $n=3$ ta được $P(x)\in \left \{ x^3+x^2-x-1,x^3-x^2-x+1 \right \}$

Tương tự khi ta xét $a_{n}=-1$ .

Kết luận : Có tất cả mười hai đa thức cần tìm thỏa đề :

$P(x)=x+1,P(x)=x-1,P(x)=-x-1,P(x)=-x+1$

$P(x)=x^2-x-1,P(x)=-x^2+x+1,P(x)=x^2+x-1,P(x)=-x^2-x+1$

$P(x)=x^3+x^2-x-1,P(x)=x^3-x^2-x+1,P(x)=-x^3-x^2+x+1,P(x)=-x^3+x^2+x-1$

Bài toán 8: Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$P(x)P(y)=P^{2}\left ( \dfrac{x+y}{2} \right )-P^2\left ( \dfrac{x-y}{2} \right ),\;\forall x,y\in \mathbb{R}\;\;\;(1)$

Lời giải :

Trong $(1)$ ta cho $x=3y$ được :

$P(3y)P(y)=P^2(3y)-P^2(y),\;\forall y\in \mathbb{R}\Leftrightarrow P(x)P(3x)=P^2(2x)-P^2(x),\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;(2)$

Gỉa sử $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,\;\left ( a_n\neq 0 \right )$

Khi đó đồng nhất hệ số cao nhất trong $(2)$ :

$(a_n.x^n).(a_n.3^n.x^n)=a_n^2.(2x)^{2n}-a_n^2.x^{2n}\Leftrightarrow 3^n.a_n^2.x^{2n}=(4^na_n^2-a_n^2)x_{2n}\Leftrightarrow 3^n+1=4^n$

Nhận thấy $n=1$ thỏa mãn. Và nếu $n>1$ thì :

$4^n=(3+1)^n=3^n+C^1_n3^{n-1}+...+1>3^n+1$

Tức là $P(x)=ax+b,\;\forall x\in \mathbb{R}$ .

Thay vào $(2)$ :

$(ax+b)(3ax+b)=(2ax+b)^2-(ax+b)^2,\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow 3a^2x^2+4abx+b^2=3a^2x+2abx,\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow b=0,a\in \mathbb{R}$

Kết luận : Các đa thức thỏa mãn đề bài là $\boxed{P(x)=ax,\;\forall x\in \mathbb{R}}$

Bài toán 9 : Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ thỏa mãn :

$P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=3P(a)+3P(b)+3P(\;c)$

Trong đó $a,b,c$ là ba số thực bất kì thỏa mãn $a+b+c=0$ .

Lời giải :

Nếu $P(x)$ là đa thức hằng thì $P(x)\equiv 0$

Chọn $a=3x,b=-2x,c=-x$ , ta được :

$P(5x)+P(-x)+P(-4x)=3P(3x)+3P(-2x)+3P(-x)\qquad(*)$

Đặt $P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i\qquad(a_n\neq 0)$

Thay vào $(*)$ :

$\sum_{i=0}^{n}a_i.5^i.x^i+\sum_{i=0}^{n}a_i.(-x)^i+\sum_{i=0}^{n}a_i(-4)^i.x^i=\sum_{i=0}^{n}3a_i.3^i.x^i+\sum_{i=0}^{n}3a_i(-2)^i.x^i+\sum_{i=0}^{n}3a_i(-x)^i$

Đồng nhất hệ số bậc cao nhất và hệ số tự do :

$\left\{\begin{matrix} 5^na_n+(-1)^na_n+(-4)^na_n=3^{n+1}a_n+3.(-2)^na_n+3.(-1)^na_n& & \\ 3a_0=9a_0& & \end{matrix}\right.$

Ta có ngay $a_0=0$

$\blacktriangle$ Nếu $n$ lẻ, ta được :

$5^n-1-4^n=3^{n+1}-3.2^n-3^n\Leftrightarrow 5^n+3.2^n+3^n=3^{n+1}+4^n+1$

Nhận thấy $n=1$ thỏa mãn, xét $n>1$ .

Khi đó

$5^{n}+3.2^{n}+3^{n}\equiv 0\;\;(mod\;4)$ (vì $n$ lẻ nên $3^{n}\equiv -1\;\;(mod\;4)$ )

Mà $3^{n+1}+4^{n}+1\equiv 2\;\;(mod\;4)$ .

Do đó $n>1$ loại

Như vậy $P(x)=ax$ với $a\neq 0$ . Thử lại thỏa mãn

$\blacktriangle$ Nếu $n$ chẵn, ta được :

$5^n+1+4^n=3^{n+1}+3.2^n+3$

Nhận thấy $n=2$ thỏa mãn, xét $n>2$ .

Ta có

$5^{n}+1+4^n\equiv 2\;\;(mod\;8)$ mà $3^{n+1}+3.2^n+3\equiv 6\;(mod\;8)$

Do đó $n>2$ loại.

Như vậy $P(x)=ax^2+bx$ . Thử lại thỏa mãn.

Kết luận : Đa thức cần tìm là $P(x)=ax^2+bx$ trong đó $a,b\in \mathbb{R}$

Bài toán 10 : Tìm đa thức $P(x)$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} P(a+b)=P(a)+7P(b) &(1) & \\ ab(a+b)=2b^3& (2) & \end{matrix}\right.$

Lời giải :

Ta sẽ chọn các số $a,b$ có dạng $(a,b)=(mx,nx)$ thỏa $(2)$ .

Thay $a=mx,b=nx$ vào $(2)$ , ta được : $mnx^{3}(m+n)=2n^{3}x^{3}\Rightarrow mn(m+n)=2n^3$ .

Ta chọn các số $m,n$ đơn giản nhất là $(m,n)=(1,1)$ .

Như vậy bộ $(a,b)=(x,x)$ thỏa $(2)$ . Thay vào $(1)$ , ta được : $P(2x)=8P(x)\qquad(*)$

Đặt $P(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$ với $a_{n}\neq 0$ . Thay vào $(*)$ :

$a_{n}.2^{n}x^n+a_{n-1}.2^{n-1}x^{n-1}+...+a_1.2x+a_0=8a_nx^n+8a_{n-1}x^{n-1}+...+8a_1x+8a_0$

Đồng nhất hệ số tự do và hệ số bậc cao nhất :

$\left\{\begin{matrix} a_n.2^n=8a_n & & \\ a_0=8a_0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} n=3 & & \\ a_0=0 & & \end{matrix}\right.$