Phan Đình Trung: Một số hệ thức trong tam giác

ĐỊNH DẠNG TAM GIÁC

Hãy xác định dạng tam giác nếu biết :

$\boxed{1}$ $\dfrac{cos^{2}\dfrac{A}{2}}{a}+\dfrac{cos^{2}\dfrac{B}{2}}{b}+\dfrac{cos^2\dfrac{C}{2}}{c}=\dfrac{27r}{8S}$

$\boxed{2}$ $ab.cosC+bc.cosA+ac.cosB=c^2$

$\boxed{3}$ $tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{C}{2}=\dfrac{9R^2}{4S}$

$\boxed{4}$ $S=\dfrac{\sqrt{3}}{36}(a+b+c)^2$

$\boxed{5}$ $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=3\sqrt{3}S$

$\boxed{6}$ $b+c=\dfrac{a}{2}+\sqrt{3}h_{a}$

$\boxed{7} \dfrac{(S_1+S_2+S_3)^3}{27S_1S_2S_3}=\dfrac{R}{2r}$ với $S_{1}=S_{HBC},S_2=S_{HCA},S_3=S_{HAB}$

$\boxed{8} \dfrac{IA^2.IB^2.IC^2}{h_ah_bh_c}=\dfrac{8R^3}{27}$

$\boxed{9}\;\;\;(tanA-1)(tanB-1)(tanC-1)=6\sqrt{3}-10$ (tam giác $ABC$ nhọn)

PHƯƠNG TRÌNH VÀ ĐỊNH LÍ VIETE TRONG TAM GIÁC

$\boxed{1}$ a) Chứng minh các hệ thức $\left\{\begin{matrix} r_a+r_b+r_c=4R+r & \\ r_ar_b+r_br_c+r_cr_a=p^2 & \\ r_ar_br_c=p^2r& \end{matrix}\right.$

b) Chứng minh rằng $r_{a},r_{b},r_{c}$ là ba nghiệm của phương trình $x^{3}-(4R+r)x^{2}+p^{2}x-p^{2}r=0$

$\boxed{2}$ a) Chứng minh các hệ thức $\left\{\begin{matrix} a+b+c=2p & \\ ab+bc+ca=r^2+p^2+4Rr & \\ abc=4Rpr& \end{matrix}\right.$

b) Chứng minh rằng $a,b,c$ là ba nghiệm của phương trình $x^{3}-2px^{2}+(p^{2}+r^{2}+4Rr)x-4Rrp=0$

BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC

A. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN VÀ QUAN TRỌNG :

a) Bất đẳng thức $Euler$ : $R\geq 2r$

b) Bất đẳng thức $Weitzenbock$ $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4\sqrt{3}S$

c) Bất đẳng thức $Hadwinger-Finsler$ :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4\sqrt{3}S+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$

d) Bất đẳng thức $Gerretsen$ :

$r(16R-5r)\leq p^{2}\leq 4R^{2}+4Rr+3r^{2}$

e) Bất đẳng thức $Bludon$ :

$2R^{2}+10Rr-r^{2}-2(R-2r)\sqrt{R(R-2r)}\leq p^{2}\leq 2R^2+10Rr-r^{2}+2(R-2r)\sqrt{R(R-2r)}$

f) Bất đẳng thức $Leibniz$ : $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 9R^{2}$

g) Một số bất đẳng thức lượng giác :

Liên quan đến hàm số sin :

$sinA+sinB+sinC\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

$sinAsinBsinC\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$

$\dfrac{1}{sinA}+\dfrac{1}{sinB}+\dfrac{1}{sinC}\geq 2\sqrt{3}$

$sin\dfrac{A}{2}+sin\dfrac{B}{2}+sin\dfrac{C}{2}\leq \dfrac{3}{2}$

$sin\dfrac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}\leq \dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{1}{sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{sin\dfrac{C}{2}}\geq 6$

$cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C\geq sin^{2}\dfrac{A}{2}+sin^{2}\dfrac{B}{2}+sin^{2}\dfrac{C}{2}\geq \dfrac{3}{4}$

$sin^{2}A+sin^{2}B+sin^{2}C\leq cos^{2}\dfrac{A}{2}+cos^{2}\dfrac{B}{2}+cos^{2}\dfrac{C}{2}\leq \dfrac{9}{4}$

Liên quan đến hàm số cos :

$cosA+cosB+cosC\leq \dfrac{3}{2}$

$cosAcosBcosC\leq \dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{cosA}+\frac{1}{cosB}+\dfrac{1}{cosC}\geq 6$ (tam giác nhọn)

$cos\dfrac{A}{2}+cos\dfrac{B}{2}+cos\dfrac{C}{2}\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

$cos\dfrac{A}{2}.cos\dfrac{B}{2}.cos\dfrac{C}{2}\leq \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$

$\dfrac{1}{cos\dfrac{A}{2}}+\dfrac{1}{cos\dfrac{B}{2}}+\dfrac{1}{cos\dfrac{C}{2}}\geq 2\sqrt{3}$

Liên quan đến hàm số tan và cot :

$tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC\geq 3\sqrt{3}$ (tam giác nhọn)

$tan\dfrac{A}{2}+tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{C}{2}\geq \sqrt{3}$

$tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{B}{2}.tan\dfrac{C}{2}\geq \dfrac{\sqrt{3}}{9}$

$tan^2A+tan^2B+tan^2C\geq 9$ (tam giác nhọn)

$tan^{2}\dfrac{A}{2}+tan^{2}\dfrac{B}{2}+tan^{2}\dfrac{C}{2}\geq 1$

$cotA+cotB+cotC\geq \sqrt{3}$

$cotAcotBcotC\leq \dfrac{\sqrt{3}}{9}$

$cot\dfrac{A}{2}+cot\dfrac{B}{2}+cot\dfrac{C}{2}=cot\dfrac{A}{2}.cot\dfrac{B}{2}.cot\dfrac{C}{2}\geq 3\sqrt{3}$

$cot^2A+cot^2B+cot^2C\geq 1$

$cot^2\dfrac{A}{2}+cot^2\dfrac{B}{2}+cot^2\dfrac{C}{2}\geq 9$

B. NHỮNG BÀI TOÁN KHÁC

$\boxed{1}$ $9r\leq h_{a}+h_{b}+h_{c}\leq l_{a}+l_{b}+l_{c}\leq m_{a}+m_{b}+m_{c}\leq r_{a}+r_{b}+r_{c}\leq \dfrac{9R}{2}$

$\boxed{2}$ Cho tam giác $ABC$ không nhọn. Chứng minh rằng :

$A^{2}+B^{2}+C^{2}\geq \dfrac{3\pi ^{2}}{8}$

$\boxed{3}$ Cho tam giác $ABC$ có $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng $\dfrac{aIA}{IB.IC}+\dfrac{bIB}{IC.IA}+\dfrac{cIC}{IA.IB}\geq 3\sqrt{3}$

$\boxed{4}\;\;\;cos2A+cos2B+cos2C\geq \dfrac{-3}{2}$ (tam giác $ABC$ nhọn)

$\boxed{5}\;\;\;\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2R}\leq m_{a}+m_{b}+m_{c}\leq 4R+r$

$\boxed{6}\;\;\;GA+GB+GC\geq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3R}$

$\boxed{7}\;\;\;MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}\geq MA.GA+MB.GB+MC.GC\geq GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}$ với $M$ là điểm tùy ý.

$\boxed{8}\;\;\;\dfrac{m_am_bm_c}{m_a^2+m_b^2+m_c^2}\geq r$

$\boxed{9}\;\;\;\dfrac{cosA}{a^3}+\dfrac{cosB}{b^3}+\dfrac{cosC}{c^3}\geq \dfrac{3}{2abc}$

$\boxed{10}\;\;\;\; \dfrac{m_a}{sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{m_b}{sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{m_c}{sin\dfrac{C}{2}}\geq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2r}$

$\boxed{11}$ $a+b+c\leq 3\sqrt{3}R$

$\boxed{12}\;\;\;\;\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{r}\geq \dfrac{9\sqrt{3}}{2p}$

$\boxed{13}\;\;\;\;a^{2}MA^2+b^2MB^2+c^2MC^2\geq \dfrac{3a^2b^2c^2}{a^2+b^2+c^2}$ với $M$ tùy ý.

$\boxed{14}\;\;\;\;l_a+l_b+l_c\leq \dfrac{\sqrt{3}}{2}(a+b+c)$

$\boxed{15}\;\;\;\;p^{2}\leq 6R^{2}+3r^{2}$

$\boxed{16}$ Làm mạnh BĐT $Hadwinger-Finsler$ :

a) $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4\sqrt{3+\dfrac{4(R-2r)}{4R+r}}+(a-b)^{2}+(b-c)^2+(c-a)^{2}$

b) $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \left ( 4\sqrt{3}+\dfrac{OG^{2}}{R^{2}} \right )S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2$

c) $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4\sqrt{3}S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+16Rr\left ( \sum_{cyc} cos^{2}\dfrac{A}{2}-\sum_{cyc}cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}\right )$

d) $a^{2}+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}+\dfrac{(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2}{a^2+b^2+c^2}$

$\boxed{17}\;\;\;\;R+r\geq \sqrt[4]{3}\sqrt{S}$

$\boxed{18}\;\;\;\;8[(p-a)(p-b)(p-c)]^{2}\geq a^2b^2c^2.cosA.cosB.cosC$

$\boxed{19}\;\;\;\;a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq 16S^{2}$

$\boxed{20}\;\;\;\;2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)\geq 4\left ( \dfrac{a^2(p-a)}{b+c}+\dfrac{b^2(p-b)}{c+a}+\dfrac{c^2(p-c)}{a+b} \right )\geq 4\sqrt{3}S$

$\boxed{21}\;\;\;\;\dfrac{(b+c-a)a^{2}}{b+c}+\dfrac{(c+a-b)b^2}{c+a}+\dfrac{(a+b-c)c^2}{a+b}\geq 2\sqrt{3}S$

$\boxed{22}\;\;\;OI\geq OG$ , $2OI \geq IH$

$\boxed{23}\;\;\;(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\leq 8R(R-2r)$

$\boxed{24}$ Tổng quát $Hadwinger-Finsler$

a) Chứng minh rằng với $n$ nguyên dương thì :

$(*)$ $a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}\geq 3\left ( \dfrac{4S}{\sqrt{3}} \right )^{n}+(a-b)^{2n}+(b-c)^{2n}+(c-a)^{2n}$

$(*)$ $a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}\geq 3\left ( \dfrac{4S}{\sqrt{3}} \right )^{n}+(a-b)^{2n}+(b-c)^{2n}+(c-a)^{2n}+\sum_{cyc}(a+b-c)^{n}|a-b|^{n}$

b) Cho tứ giác lồi có các cạnh $a,b,c,d$ có diện tích $S$ . Chứng minh rằng với $n$ nguyên dương thì :

$a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}+d^{2n}\geq 4S^{n}+\left ( \dfrac{a-b}{2} \right )^{2n}+\left ( \dfrac{b-c}{2} \right )^{2n}+\left ( \dfrac{c-a}{2} \right )^{2n}+\left ( \dfrac{a-d}{2} \right )^{2n}$

$\boxed{25}$ Mở rộng $Weitzenbock$ :

Cho $a_1;b_1;c_1$ là độ dài cạnh tam giác $A_1B_1C_1$ có diện tích $S_1$ và $a_2,b_2,c_2$ là độ dài 3 cạnh tam giác $A_2B_2C_2$ có diện tích $S_2$ . Chứng minh:

$a_1^2(b_2^2+c_2^2-a_2^2)+b_1^2(c_2^2+a_2^2-b_2^2)+c_1^2(a_2^2+b_2^2-c_2^2)\ge 16S_1S_2$

$\boxed{26}$ Làm mạnh $Gerretsen$ : $p^{2}\leq \dfrac{R(4R+r)^2}{2(2R-r)}$

$\boxed{27}$ $h_am_a^4+h_bm_b^4+h_cm_c^4\geq 9\sqrt[4]{3}.S^{2}\sqrt{S}$

$\boxed{28}$ $\left ( \dfrac{h_a}{l_a}-sin\dfrac{A}{2} \right )\left ( \dfrac{h_b}{l_b} -sin\dfrac{B}{2}\right )\left ( \dfrac{h_c}{l_c}-sin\dfrac{C}{2} \right )\leq \dfrac{r}{4R}$

$\boxed{29}$ $\dfrac{1}{\sqrt{m_a}}+\dfrac{1}{\sqrt{m_b}}+\dfrac{1}{\sqrt{m_c}}\geq \sqrt{\dfrac{6}{R}}$

$\boxed{30}\;\;\dfrac{cos\dfrac{B-C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{cos\dfrac{C-A}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{cos\dfrac{A-B}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}\geq 6$ (tam giác $ABC$ nhọn)

$\boxed{31}\;\;sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA\geq 9\left ( \dfrac{r}{R} \right )^{2}$

$\boxed{32}\;\;a^2+b^2+c^2\geq \dfrac{36}{35}\left ( p^2+\dfrac{abc}{p} \right )$

$\boxed{33}\;\;\left ( \dfrac{a}{cosA}+\dfrac{b}{cosB}-c \right )\left ( \dfrac{b}{cosB}+\dfrac{c}{cosC}-a \right )\left ( \dfrac{c}{cosC}+\dfrac{a}{cosA}-b \right )\geq 27abc$

$\boxed{34}\;\;\dfrac{a^{3}+b^3+c^3}{2abc}+\dfrac{r}{R}\geq 2$

$\boxed{35}\;\;\left ( 1+\dfrac{1}{sinA} \right )\left ( 1+\dfrac{1}{sinB} \right )\left ( 1+\dfrac{1}{sinC} \right )\geq \left ( 1+\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right )^{3}$

$\boxed{36}\;\;\dfrac{a^8}{cos^{2}\dfrac{A}{2}}+\dfrac{b^8}{cos^{2}\dfrac{B}{2}}+\dfrac{c^8}{cos^{2}\dfrac{C}{2}}\geq \left ( \dfrac{abc\sqrt{6}}{3R} \right )^{4}$

$\boxed{37}\;\;sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}+sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}+sin\dfrac{C}{2}sin\dfrac{A}{2}\leq \dfrac{5}{8}+\dfrac{r}{4R}$

$\boxed{38}\;\;sinAsinB+sinBsinC+sinCsinA\leq \dfrac{7}{4}+4sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}$

$\boxed{39}\;\;(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)\geq cosAcosBcosC$ (tam giác nhọn)

$\boxed{40}\;\;1+cosAcosBcosC\geq 9sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}$

$\boxed{41}\;\;h_ah_b+h_bh_c+h_ch_a\leq p^2$

$\boxed{42}\;\;r(r_a+r_b+r_c)\leq \dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}+\dfrac{cos^3A+cos^3B+cos^3C}{6}$

$\boxed{42}\;\;cos\dfrac{A-B}{2}cos\dfrac{B-C}{2}cos\dfrac{C-A}{2}\geq 8sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}$ (tam giác nhọn)

$\boxed{43}\;\;cos^2\dfrac{A-B}{2}+cos^2\dfrac{B-C}{2}+cos^2\dfrac{C-A}{2}\geq 24sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}$ (tam giác nhọn)

$\boxed{44}\;\;\;tanA.tanB+tanB.tanC+tanC.tanA\geq 3+\dfrac{1}{cosA}+\dfrac{1}{cosB}+\dfrac{1}{cosC}$ (tam giác nhọn)

$\boxed{45}\;\;\dfrac{cos\dfrac{B-C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}}+\dfrac{cos\dfrac{C-A}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{cos\dfrac{A-B}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}\leq 2\left ( \dfrac{tan\dfrac{A}{2}}{tan\dfrac{B}{2}}+ \dfrac{tan\dfrac{B}{2}}{tan\dfrac{C}{2}} +\dfrac{tan\dfrac{C}{2}}{tan\dfrac{A}{2}} \right )$

$\boxed{46}\;$

$abc(a+b+c)\leq abc\left [ (b+c)sin\dfrac{A}{2}+(c+a)sin\dfrac{B}{2}+(a+b)sin\dfrac{C}{2} \right ]$

$+4Rr\left ( a^2+b^2+c^2-2absin\dfrac{C}{2}-2bcsin\dfrac{A}{2}-2casin\dfrac{B}{2} \right )$

$\boxed{47}\;$ Cho điểm $M$ thuộc miền trong tam giác $ABC$ , gọi $d_1,d_2,d_3$ lần lượt là khoảng cách từ điểm $M$ đến các cạnh $BC,CA,AB$ . Chứng minh rằng nếu $d_{1}d_{2}d_{3}\geq r^{3}$ thì $OM\leq OI$

$\boxed{48}\;\;\dfrac{1+cosA}{(1-cosB)(1-cosC)}+\dfrac{1+cosB}{(1-cosC)(1-cosA)}+\dfrac{1+cosC}{(1-cosA)(1-cosB)}\geq 18$

$\boxed{49}$ Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , các phân giác trong $AA',BB',CC'$ cắt $(O)$ lần lượt tại $A_1,B_1,C_1$ . Chứng minh rằng $\dfrac{AA'}{AA_1}+\dfrac{BB'}{BB_1}+\dfrac{CC'}{CC_1}\leq \dfrac{9}{4}$

$\boxed{50}$ Cho hai đường tròn đồng tâm $(O,R)$ và $(O,R_1)$ với $R_1>R$ . Tia $AB,BC,CD,DA$ lần lượt cắt $(O,R_1)$ tại $A_1,B_1,C_1,D_1$ . Chứng minh rằng $\dfrac{S_{A_1B_1C_1D_1}}{S_{ABCD}}\geq \dfrac{R_1^2}{R^2}$

$\boxed{51}$ $\dfrac{sinAsinB}{sin^{2}\dfrac{C}{2}}+\dfrac{sinBsinC}{sin^{2}\dfrac{A}{2}}+\dfrac{sinC.sinA}{sin^{2}\dfrac{B}{2}}\geq 9$

$\boxed{52}$ Cho tam giác $ABC$ có ba đường trung tuyến $AM,BN,CP$ đồng quy tại $G$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần lượt tại $D,E,F$ . Chứng minh rằng :

$\dfrac{1}{GD}+\dfrac{1}{GE}+\dfrac{1}{GF}\leq \sqrt{3}\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right )$

$\boxed{53}$ Cho tam giác $ABC$ thỏa điều kiện $C\leq B\leq A\leq \dfrac{\pi }{2}$ . Chứng minh rằng :

$P=cos\dfrac{A-B}{2}sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}\leq \dfrac{1}{4}$

HỆ THỨC HÌNH HỌC

$\boxed{1}$ $sinA+sinB+sinC=4cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{C}{2}$

$\boxed{2}$ $sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}=\dfrac{r}{4R}$

$\boxed{3}$ $cosA+cosB+cosC=1+4.sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}=1+\dfrac{r}{R}$

$\boxed{4}$ $sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC$

$\boxed{5}$ $cos^{2}A+cos^{2}B+cos^{2}C=1-2cosAcosBcosC$

$\boxed{6}$ $(p-a)^{2}sinA+(p-b)^{2}sinB+(p-c)^{2}sinC=4r(2R-r)cos\dfrac{A}{2}cos\dfrac{B}{2}cos\dfrac{C}{2}$

$\boxed{7}$ $sin^{2}A+sin^{2}B+sin^{2}C=2+2cosAcosBcosC$

$\boxed{8}$ $tan\dfrac{A}{2}tan\dfrac{B}{2}+tan\dfrac{B}{2}tan\dfrac{C}{2}+tan\dfrac{C}{2}tan\dfrac{A}{2}=1$

$\boxed{9}$ $cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1$

$\boxed{10}$ $tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC$

$\boxed{11}\;\;\;cos\dfrac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{p(p-a)}{bc}},\;\;tan\dfrac{A}{2}=\sqrt{\dfrac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}$ , $sin\dfrac{A}{2}=\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{bc}}$

$\boxed{12}\;\;\;(a-b)cot\dfrac{C}{2}+(b-c)cot\dfrac{A}{2}+(c-a)cot\dfrac{B}{2}=0$

$\boxed{13}\;\;\;bc.cot\dfrac{A}{2}+ca.cot\dfrac{B}{2}+ab.cot\dfrac{C}{2}=4Rp^{2}\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} -\dfrac{3}{p}\right )$

$\boxed{14}\;\;\;r=p.tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{B}{2}.tan\dfrac{C}{2}$

$\boxed{15}$ $\dfrac{1}{r_{a}}+\dfrac{1}{r_{b}}+\dfrac{1}{r_{c}}=\dfrac{1}{h_{a}}+\dfrac{1}{h_{b}}+\dfrac{1}{h_{c}}=\dfrac{1}{r}$

$\boxed{16}$ $OI^{2}=R^{2}-2Rr$ (hệ thức $Euler$ )

$OH^{2}=9R^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}$

$OG^{2}=R^{2}-\dfrac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{9}$

$IH^{2}=4R^2+4Rr+3r^2-p^2$

$IG^{2}=\dfrac{1}{9}(p^2-16Rr+5r^2)$

$\boxed{17}$ Hệ thức $Leibniz$ :

$GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}=\dfrac{1}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$ với $M$ tùy ý.

$\boxed{18}$ $IA.IB.IC = 4Rr^2$ , $a.IA^2 + b.IB^2 + c.IC^2 = abc$

$\boxed{19}$ Ba tiếp điểm $D,E,F$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ lần lượt thuộc $BC,CA,AB$ . Tam giác $DEF$ có $EF=a',DE=c',FD=b'$ và có diện tích $S$ . Chứng minh :

a) $\dfrac{a'}{a}+\dfrac{b'}{b}+\dfrac{c'}{c}=2\left ( sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2} +sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}+sin\dfrac{C}{2}sin\dfrac{A}{2}\right )$

b) $\dfrac{S'}{S}=2sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}sin\dfrac{C}{2}$

$\boxed{20}\;\;\;\dfrac{a^2cos\dfrac{B-C}{2}}{sin\dfrac{A}{2}}+\frac{b^2cos\dfrac{C-A}{2}}{sin\dfrac{B}{2}}+\dfrac{c^2cos\dfrac{A-B}{2}}{sin\dfrac{C}{2}}=2(ab+bc+ca)$

$\boxed{21}$

a) Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,AB=AC=b$ và $A=\dfrac{\pi }{9}$ . Chứng minh rằng :

$a^3+b^3=3ab^2\;\;\;(1)$

b) Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,AB=AC=b$ và $A=\dfrac{\pi }{7}$ . Chứng minh rằng :

$a^4-3a^2b^2-ab^3+b^4=0\;\;\;(2)$

HỆ THỨC LIÊN QUAN ĐẾN VECTOR

$\boxed{1}$ $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

$2\overrightarrow{HO}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}$

$\boxed{2}$ Cho tam giác $ABC$ với $M$ là điểm bất kì trong tam giác :

$tanA.\overrightarrow{HA}+tanB.\overrightarrow{HB}+tanC.\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$

$a\overrightarrow{IA}+b\overrightarrow{IB}+c\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$

$S_{MBC}.\overrightarrow{MA}+S_{MCA}.\overrightarrow{MB}+S_{MAB}.\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

$\boxed{3}$ Với bốn điểm $A,B,C,D$ bất kì : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0$ (Hệ thức $Euler$ )

$\boxed{4}$ Nếu $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \right \}$ với các hệ số tương ứng $\left \{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right \}$ thì với mọi điểm $M$ :

$\alpha_{1} MA_{1}^{2}++\alpha _{2}MA_{2}^{2}+...+\alpha _{n}MA_{n}^{2}=\alpha _{1}IA_{1}^{2}+\alpha _{2}IA_{2}^{2}+...+\alpha _{n}IA_{n}^{2}+\left ( \alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n} \right )MI^{2}$ (Hệ thức $Jacobi$ )

$\boxed{5}$ Cho $O$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \right \}$ với các hệ số tương ứng $\left \{ \alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right \}$ và $\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}\neq 0$ thì khi đó ta có :

$\alpha _{1}OA_{1}^{2}+\alpha _{2}OA_{2}^{2}+...+\alpha _{n}OA_{n}^{2}$ $=\dfrac{1}{\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}}(\alpha _{1}\alpha _{2}A_{1}A_{2}^{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}A_{1}A_{3}^{2}+...+\alpha _{1}\alpha _{n}A_{1}A_{n}^{2}$ $+\alpha _{2}\alpha _{3}A_{2}A_{3}^{2}+\alpha _{2}\alpha _{4}A_{2}a_{4}^{2}+...+\alpha _{2}\alpha _{n}A_{2}A_{n}^{2}+....+\alpha _{n-1}\alpha_ n A_{n-1}A_{n}^{2})$

$\boxed{6}$ Cho $I$ là tâm tỉ cự của hệ điểm $\left \{ A_{1},A_{2},...,A_{n} \right \}$ với các hệ số tương ứng $\left \{ \alpha _{i},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right \}$ thỏa mãn $\sum_{i=1}^{n}\alpha _{i}=1$ . Chứng minh rằng với mọi điểm $M$ bất kì, ta có :

$MI^{2}=\alpha _{1}MA_{1}^{2}+\alpha _{2}MA_{2}^{2}+...+\alpha _{n}MA_{n}^{2}$

$-\left ( \alpha _{1}\alpha _{2}A_{1}A_{2}^{2}+\alpha _{1}\alpha _{3}A_{1}A_{3}^{2}+...+\alpha _{1}\alpha _{n}A_{1}A_{n}^{2}+\alpha _{2}\alpha _{3}A_{2}A_{3}^{2}+\alpha _{2}\alpha _{4}A_{2}a_{4}^{2}+...+\alpha _{2}\alpha _{n}A_{2}A_{n}^{2}+....+\alpha _{n-1}\alpha _n A_{n-1}A_{n}^{2}\right )$

(Công thức tính khoảng cách từ một điểm bất kì đến tâm tỉ cự của một hệ điểm)

Xét tam giác $ABC$ có ba cạnh $AB=c,BC=a,CA=b$ , $O,I,H,G$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác, trực tâm và trọng tâm tam giác. Gọi

- $p,S$ là nửa chu vi, diện tích tam giác.

- $h_a,h_b,h_c$ là ba đường cao của tam giác

- $m_a,m_b,m_c$ là ba đường trung tuyến của tam giác

- $l_a,l_b,l_c$ là ba đường phân giác của tam giác

- $R,r,r_a,r_b,r_c$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp của tam giác

CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH, ĐỘ DÀI CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

1) Diện tích :

$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ (hệ thức $Herons$ )

$S=\dfrac{1}{2}ah_{a}=\dfrac{1}{2}bh_{b}=\dfrac{1}{2}ch_{c}$

$S=\dfrac{1}{2}ab.sinC=\dfrac{1}{2}bc.sinA=\dfrac{1}{2}ca.sinB$

$S=pr=\dfrac{abc}{4R}=2R^{2}.sinA.sinB.sinC=p^{2}.tan\dfrac{A}{2}.tan\dfrac{B}{2}.tan\dfrac{C}{2}$

$S=\dfrac{a^{2}sinB.sinC}{2sinA}=\dfrac{b^{2}.sinA.sinC}{2sinB}=\dfrac{c^{2}.sinA.sinB}{2sinC}$

$S=(p-a)r_{a}=(p-b)r_{b}=(p-c)r_{c}=\sqrt{rr_{a}r_{b}r_{c}}$

2) Trung tuyến, phân giác, đường cao :

a) Trung tuyến :

$m_{a}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}$ , $m_{b}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2c^{2}+2a^{2}-b^{2}}$ , $m_{c}=\dfrac{1}{2}\sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}$

b) Phân giác :

Phân giác trong :

$l_{a}=\dfrac{2}{b+c}\sqrt{pbc(p-a)}=\dfrac{2bc.cos\dfrac{A}{2}}{b+c}$ , $l_{b}=\dfrac{2}{c+a}\sqrt{pca(p-b)}=\dfrac{2ca.cos\dfrac{B}{2}}{c+a}$ , $l_{c}=\dfrac{2}{a+b}\sqrt{pab(p-c)}=\dfrac{2ab.cos\dfrac{C}{2}}{a+b}$