Bài toán 1: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng
minh rằng:
a
+b +c +2abc+1 ³ 2(ab+bc+ca)
Lời giải: Không mất tính tổng quát, giả sử a-1, b-1³ 0 suy ra
2c(a-1)(b-1) ³ 0
Û 2abc ³ 2bc+2ca-2c
Do đó, ta chỉ
cần chứng minh: a
+b
+c
+1³ 2c+2ab
Û(a-b)
+ (c-1)
³ 0.
Bất đẳng thức
này luôn đúng nên ta có đpcm.
Mở rộng :
Cho a, b, c là các số thực. Chứng minh rằng:
a
+b
+c
+a
b
c
+2
³ 2(ab+bc+ca).
Lời giải: Sử dụng
nguyên lí Dirichlet, ta thấy có hai trong ba số a
-1,
b
-1,
c
-1
có tích không âm. Giả sử đó là a
-1
và b
-1.
Khi đó:
c
(a
-1)(b
-1)
³ 0
Û 2a b
c ³ 2b c +2c a -2c
Do đó, ta cần chứng minh a
+b
+2+b
c
+c
a
³ 2(ab+bc+ca)
Û (a-b)
+(bc-1)
+(ca-1)
³ 0
Bất
đẳng thức này đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=± 1
No comments:
Post a Comment