Processing math: 100%

Translate

Saturday, January 6, 2018

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG

A. NGUYÊN HÀM

1. Phương pháp đổi biến:


Nếu \begin{cases}\int f(u)du=F(u)+C\\u=u(x) \text{ có đạo hàm liên tục trên }D\end{cases} thì \boxed{\int f(u).u'.dx=F(u)+C}


HỆ QUẢ: nếu f(x)=ax+b, (a\neq 0) thì \int f(ax+b) dx=\dfrac{1}{a}F(ax+b)+C


2. Nguyên hàm từng phần: 

Nếu u, v có đạo hàm liên tục trên D thì \boxed{\int u.v'dx=uv-\int v.u'dx}

BÀI TẬP:  Tính nguyên hàm: 

 \begin{aligned}1.\;&\int (x+1)^2(2x-1)dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&&\int \dfrac{x^4-3x^2+4x+2}{x^2}dx \\&\int (4\sqrt[3]{x}+3\sqrt[4]{x})dx\;\;&&\int (2x+2\sqrt[3]{x}+\sqrt{x})dx\end{aligned} 
 \begin{aligned}2.\; &\int4^{2x+1}dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&&\int (e^x+1)dx \\&\int e^x.(1-e^x)^2dx\;&&\int \dfrac{e^{2x}+e^x}{e^x}dx\end{aligned}
\begin{aligned}3.\;& \int (2\sin x -cos x)dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&&\int (\sin 3x +\cos 4x )dx\\&\int (\sin x -\tan x)dx\;&&\int (\cos x+3\cot 2x)dx\end{aligned}
\begin{aligned}4. \;& \int 2\sin x\cos xdx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&&\int \sin 2x.\cos 2x. \cos 4xdx\\&\int \sin 4x.\cos 3xdx &&\int\cos x.\sin 2xdx\end{aligned}
5. Cho f'(x)=3-5\sin xf(0)=10 Tìm f(x) 
\begin{aligned}6. \;&\int (x+1)\sin x dx\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&&\int (x^2+5x-6)\sin x dx\\&\int (x^2+x)\cos xdx &&\int (3x^2-4x)\sin 2x dx\\&\int (x+1)e^xdx&&\int (4x^2+1)e^{2x}dx\\&\int \sqrt{x}e^xdx&&\int x.e^{\sqrt{x}}dx\\&\int (x+1)\ln x &&\int (x^2-x)\log x dx\end{aligned}
7. Cho F(x)=x^2 là một nguyên hàm của f(x).e^{2x}. Nguyên hàm của f'(x).e^{2x} là 
\begin{aligned} &A.\; \int f'(x).e^{2x}dx=-x^2+2x+C\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&&B.\;\int f'(x).e^{2x}dx=-x^2+x+C\\&C.\;\int f'(x)e^{2x}dx=2x^2-2x+C &&D.\;\int f'(x)e^{2x}dx=-2x^2+2x+C\end{aligned}
8. Nguyên hàm của f(x)=\dfrac{1}{5x-2}
9. Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x)=\dfrac{\ln x}{x}. Tính F(e)-F(1)


Tuesday, December 5, 2017

Bài 5: Tính A=2+22+222+...+\underset{\text{13 chu so } 2}{22...22}
GIẢI:
Ta có: 2=2.10^0\\22=20+2=2.10^1+2.10^0\\222=200+20+2=2.10^2+2.10^1+2.10^0\\...\\\underset{\text{13 chu so } 2}{22...22}=\underset{(\text{12 chu so }0)}{ 200...000}+\underset{(\text{11 chu so }0)}{ 200...000}+...+20+2=2.10^{12}+2.10^11+2.10^10+...+2.10^1+2.10^0
Nhận thấy:
13 số 2=2.10^0
      12 số 20=2.10^1
      11 số 200=2.10^2
      ....
      2 số 2.10^{11}
      1 số 2.10^{12}
Như vậy A=13.2.10^0+12.2.10^1+11.2.10^2+...+2.10^{11}+1.2.10^{12}
Tới đây có 2 cách bấm máy: 
Cách 1: 
Nhập thẳng vô máy CASIO: \sum_{x=0}^{12}((13-x).2.10^{x}) rồi nhận kết quả (như hình)


Cách 2: Khai báo vào màn hình:  A=A+1: B=B+(13-A).2.10^A, nhấn CALC, máy hỏi A=?, khai báo A=-1, nhấn = liên tục cho tới khi A=A+1=12 máy báo kết quả như trên, giá trị B cuối cùng khi A=12 chính là kết quả bài toán (Xem ảnh)








Sunday, January 29, 2017

Bài toán: Tìm tất cả các đa thức P(x) hệ số thực thỏa mãn: P(x^2)+x.(3P(x)+P(-x))=(P(x))^2+2x^2, \forall x\in\mathbb{R}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(*)
Lời Giải:
Trong (*) cho x=0 ta được P(0)=P^2(0)\Leftrightarrow P(0)=0\vee P(0)=1
Trong (*) thay x bởi -x ta được:
P(x^2)-x.((3P(-x)+P(x))=(P(-x))^2+2x^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(**) Lấy (*)-(**), ta được: x(3P(x)+P(-x))+x(3P(-x)+P(x))=(P(x))^2-(P(-x))^2\\\Leftrightarrow x(4P(x)+4P(-x))=(P(x))^2-(P(-x))^2
Nếu đặt k=\deg P thì từ trên ta có k+1=2k\Leftrightarrow k=1 hay P(x)=ax+b
Với P(0)=0) thì P(x)=ax thay vào (*), lúc này trong (*) cho x=1, ta được: a+2a=a^2+2 \Rightarrow \begin{cases} a_1=1\\a=2\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} P(x)=x\\P(x)=2x\end{cases}
Với P(0)=1 thì ta có P(x)=ax+1, tương tự như trên, ta cũng có P(x)=-x+1\vee P(x)=2x+1
Tóm lại \boxed{P(x)=x\\P(x)=2x\\P(x)=-x+1\\P(x)=2x+1}

Sunday, October 30, 2016

Đề chọn đội tuyển QG tỉnh Bình Định, 2016-2017

Bài toán: (Đề chọn đội tuyển QG tỉnh Bình Định, 2016-2017) Cho a,b\in (0; 1). Xét dãy {u_n}: \begin{cases}u_0=a, u_1=b\\u_{n+2}=\dfrac{1}{2017}u^4_{n+1}+\dfrac{2016}{2017}\sqrt[4]{u_n}, \forall n\in \mathbb{N} \end{cases}
CMR: (u_n) có GH và tìm GH đó.

Giải:
Bằng qui nạp dễ CM được (u_n)\in (0;1). Xét dãy (v_n): \begin{cases} v_0=\min \{a, b\}\\ v_{n+1}=\dfrac{1}{2017}v^4_n+\dfrac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_n}, \forall n\in\mathbb{N} \end{cases}  Theo AM-GM: v_{n+1}=\dfrac{1}{2017}v^4_n+\dfrac{2016}{2017}\sqrt[4]{v_n}\ge\sqrt[2017]{v_n^4.\sqrt[4]{v_n}} > v_n Dễ thấy v_n\in (0;1) Từ đó suy ra \lim v_n=1
Bằng qui nạp, dễ thấy: v_n\le \min\{ u_{2n}, u_{2n+1}\}, u_{2n+3}\ge v_{n+1}\Rightarrow v_{n+1}\le\min\{u_{2n+2}, u_{2n+3}\}. Do đó: v_n\le \min\{u_{2n}, u_{2n+1}\}\le \max\{u_{2n}, u_{2n+1}\}<1 Theo nguyên lý  kẹp, ta được: 1<u_n<1\Rightarrow \lim u_n =1
Vậy, \boxed{\lim u_n =1}

Monday, May 30, 2016

Bài toán: (Thi thử chuyên KHTN 2016) Cho a, b, c không âm thỏa (a+1)(b+1)(c+1)=5. Tìm GTLN của: P=(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2-\min\{a, b, c\})
Lời Giải:
Giả sử c=\min \{a, b, c\}\Rightarrow (c+1)^3\le 5\Rightarrow c\le \sqrt[3]{5}-1,  đồng thời sử dung C-S ta có: \dfrac{5}{c+1}=(a+1)(b+1)\ge (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 Ta suy ra: \begin{aligned}P=& =(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^2 -c\\&=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2+2\sqrt{c}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) \\& \le \dfrac{5}{c+1} +2\sqrt{\dfrac{5c}{c+1}} \end{aligned}
Thực hiện khảo sát hàm f(c)= \dfrac{5}{c+1} +2\sqrt{\dfrac{5c}{c+1}} trên c\in [0; \sqrt[3]{5}-1] ta được P\le 6, dấu ''='' đạt được khi a=b=1, c=\dfrac{1}{4}. Vậy \boxed{\max P=6}

Wednesday, September 2, 2015

Bài toán: Cho a, b, c là các số thực đôi một phân biệt: CMR: \left(\dfrac{a+b}{a-b}\right)^2+\left(\dfrac{b+c}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{c+a}{c-a}\right)^2+\dfrac{1}{\left(\dfrac{a+b}{a-b}\right)^2+\left(\dfrac{b+c}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{c+a}{c-a}\right)^2}\ge \dfrac{5}{2}
Lời giải: 
Đặt: x=\dfrac{b+c}{b-c}, y=\dfrac{c+a}{c-a}, z=\dfrac{a+b}{a-b}. Khi đó, ta có: (x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)\Leftrightarrow xy+yz+zx=-1 Và ta cần CM: x^2+y^2+z^2+\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}\ge \dfrac{5}{2}\\\Leftrightarrow (x+y+z)^2+2+\dfrac{1}{(x+y+z)^2+2}\ge \dfrac{5}{2} Đặt t=x+y+z. Khi đó xét hàm f(t)=t^2+\dfrac{1}{t^2+2} là ta có ngay đpcm


Friday, August 7, 2015

Bài toán (Nguyễn Đình Thi) Chứng minh rằng với mọi a,b,c\in\mathbb{R} thì \left(\dfrac{a^2+bc}{a^2-bc}\right)^2+\left(\dfrac{b^2+ca}{b^2-ca}\right)^2+\left(\dfrac{c^2+ab}{c^2-ab}\right)^2\ge 2 
Lời giải: 
Đặt x=\dfrac{a^2+bc}{a^2-bc}, y=\dfrac{b^2+ca}{b^2-ca},z=\dfrac{c^2+ab}{c^2-ab} Khi đó, ta có: (x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)\Leftrightarrow xy+yz+zx=-1 Áp dụng BDT x^2+y^2+z^2\ge -2(xy+yz+zx) Ta có \left(\dfrac{a^2+bc}{a^2-bc}\right)^2+\left(\dfrac{b^2+ca}{b^2-ca}\right)^2+\left(\dfrac{c^2+ab}{c^2-ab}\right)^2\ge 2 Ta có đpcm.


Problem (Nguyen Dinh Thi) Let a, b, c be real numbers. Prove that: \left(\dfrac{a^2+bc}{a^2-bc}\right)^2+\left(\dfrac{b^2+ca}{b^2-ca}\right)^2+\left(\dfrac{c^2+ab}{c^2-ab}\right)^2\ge 2 Proof: 
Let x=\dfrac{a^2+bc}{a^2-bc}, y=\dfrac{b^2+ca}{b^2-ca},z=\dfrac{c^2+ab}{c^2-ab} Then,  we have: (x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)\Leftrightarrow xy+yz+zx=-1 Using this inequality: x^2+y^2+z^2\ge -2(xy+yz+zx) We have: \left(\dfrac{a^2+bc}{a^2-bc}\right)^2+\left(\dfrac{b^2+ca}{b^2-ca}\right)^2+\left(\dfrac{c^2+ab}{c^2-ab}\right)^2\ge 2\;\;\text{(Q.E.D)}