Bài toán đường thẳng Euler

Bài toán: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $(J)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với $BC, CA, AB$ tại $M, P, N$. Chứng minh rằng, $JO$ là đường thẳng Euler của tam giác $MNP$

Lời giải:
   Gọi $M', N', P'$ theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng $(JA,PN); (JC;PM); (JB; MN)$. Rõ ràng đường tròn Euler của các tam giác $MNP$ cũng chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác $M'N'P'$. Gọi $A',B',C'$ theo thứ tự là giao điểm của $JA, JB, JC$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
  Ta có $$\overline{JB}.\overline{JB'}=\overline{JA}.\overline{JA'}=\overline{JC}.\overline{JC'}$$  Đồng thời. $$\overline{JM'}.\overline{JA}=\overline{JB}.\overline{JP'}=\overline{JC}.\overline{JN'}$$  Suy ra $$\dfrac{\overline{JM'}}{\overline{JA'}}=\dfrac{\overline{JP'}}{\overline{JB'}}=\dfrac{\overline{JN'}}{\overline{JC'}}$$ Theo đó, ta có được: $A'B'||M'N',\; B'C'||P'N',\; C'A'||M'N'$. Từ đó suy ra tồn tại phép vị tự $V_{J,k}$ sao cho $V_{J,k}: \Delta M'N'P' \to\Delta A'C'B'$, suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A'B'C', M'N'P'$ và $J$ thẳng hàng, hay nói cách khác $JO$ là đường thẳng Euler của tam giác $MNP$ (dpcm).