ĐỀ THI THỬ VMO 2015

ĐỀ THI THỬ VMO 2015

ĐỀ SỐ 1

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

  Bài 1. Giải hệ phương trình  \[\left\{ \begin{align} & \left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)\left( {{y}^{2}}+yz+{{z}^{2}} \right)\left( {{z}^{2}}+zx+{{x}^{2}} \right)=xyz \\ & \left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}} \right)\left( {{y}^{4}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{4}} \right)\left( {{z}^{4}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}}+{{z}^{4}} \right)={{x}^{3}}{{y}^{3}}{{z}^{3}} \\\end{align} \right.\]

  Bài 2. Cho dãy số ${{a}_{n}}=n+a\sqrt{{{n}^{2}}+1}$ với $a$ là tham số thực.

            a) Tìm $a$ để $\left( {{a}_{n}} \right)$ có giới hạn hữu hạn.

            b) Tìm $a$ để $\left( {{a}_{n}} \right)$ là dãy tăng.

  Bài 3.  Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp đường tròn $\left( I \right).$ Gọi $D,E$ là tiếp điểm của đường tròn $\left( I \right)$ với $BC,AC.$ Trên tia đối tia $CB$ lấy $X.$ Biết rằng hai đường tròn nội tiếp tam giác $ABX$ và $ACY$ cắt nhau tại hai điểm $P,Q.$ Chứng minh rằng:

       a) Các đường thẳng $DE$ phân giác trong góc $ABC$ và đường trung bình tam giác $ABC$  đồng qui.

       b) Đường thẳng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $X$ đi động trên tia đối tia $CB.$

  Bài 4.  Cho $n$ là một số nguyên dương. Xét bảng ô vuông có kích thước $n\times n.$ Hỏi bảng đã cho có bao nhiêu hình vuông?

                                                                                                                         Nguồn: diendantoanhoc.net

ĐỀ SỐ 2

(Thi thử VMO 2015- Viện Toán Học)

Ngày I:  (180 phút- không kể thời gian phát đề)
  
  Bài 1: (5 điểm) Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $$\begin{cases}x_1=29\\x_{n+1}=\sqrt[11]{x_1+x_2+...+x_n},\,\forall n>0\end{cases}$$ Tìm giới hạn $\lim (x_{n+1}-x_n)$.
  Bài 2: (5 điểm) Cho các thực dương $a_0, a_1,...,a_n$ sao cho $a_{k+1}-a_k\ge 1, k=0,1,...,n-1$. Chứng minh rằng: $$1+\dfrac{1}{a_0}\left(1+\dfrac{1}{a_1-a_0}\right)...\left(1+\dfrac{1}{a_n-a_0}\right)\le \left(1+\dfrac{1}{a_0}\right)\left(1+\dfrac{1}{a_1}\right)...\left(1+\dfrac{1}{a_n}\right)$$
  Bài 3: (5 điểm) Cho một bảng ô vuông hình chữ nhật cỡ $m\times n\,(m,n\ge 2)$. Tô màu đen một số ô bảng đó. Hỏi có bao nhêu cách tô sao cho bất kì hàng nào cũng có một số chẵn (có thể bằng $0$) các ô đen.
  Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác nhọn $ABC$ có $D, E, F$ tương ứng là trung điểm $BC, CA, AB$. Kí hiệu $(I)$ là đường tròn đường kính $AD$ ($I$ là trung điểm $AD$). Đường tròn $(I)$ cắt $AB, AC$ tại $M, N$. Cho $MN$ cắt $EF$ tại $P$.
         a) Chứng minh rằng đường tròn $(DIP)$ đi qua trung điểm $Q$ của $MN$.
         b) Cho $G$ là một điểm cố định trên $EF$. Một đường thẳng thay đổi qua $G$ cắt $(I)$ tại $K, H$. Cho $KF, HE$ cắt $(I)$ tại $R, S$. Chứng minh rằng trung điểm $T$ của $RS$ thuộc một đường tròn cố định.

Ngày II: (180 phút- không kể thời gian phát đề)

  Bài 5: (7 điểm) Cho $f$ là một đa thức có bậc không nhỏ hơn $2$ với hệ số nguyên và $f'(0)=0$. Gọi $(a_n)$ là dãy được cho bởi $a_1=f(0)$ và $a_{n+1}=f(a_n),\forall n\ge 1$. Giả sử $a_n\neq 0, \forall n$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p$, luôn tồn tại một số nguyên dương $e_p$ với tính chất sau: với mọi $n$ thì hoặc $p\not | a_n$ hoặc $p^{e_p}\,|\,a_n$ nhưng $p^{e_p+1}\not | a_n$
  Bài 6: (7 điểm) Cho tam giác$ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là trung điểm $BC$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ . Cho $BH, CH$ cắt $AC, AB$ tại $E, F$, tia $IH$ cắt đường tròn $(O)$ tai $T$. Trên $EF$ lấy $D$ sao cho $DH$ song song với $BC$.
       a) Chứng minh rằng $DT$ tiếp xúc với đường tròn $(HEF)$.
       b) Gọi $M, N$ lần lượt là giao điểm của $EF$ với $(IBT), (ICT)$ ( điểm $M$ khác phía $E$ đối với $F$, điểm $N$ khác phía $F$ với $E$). Gọi $P$ là giao điểm của $AH$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng $BM. CN, TP$ đồng qui.
   Bài 7: (6 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đa thức $$\sum_{k=0}^{n} 2^{k(n-k)}x^k$$ có đúng $n$ nghiệm thực.