Processing math: 100%

Translate

Tuesday, December 16, 2014

ĐỀ THI THỬ VMO 2015

ĐỀ THI THỬ VMO 2015

ĐỀ SỐ 1
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
  Bài 1. Giải hệ phương trình  \left\{ \begin{align} & \left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)\left( {{y}^{2}}+yz+{{z}^{2}} \right)\left( {{z}^{2}}+zx+{{x}^{2}} \right)=xyz \\ & \left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{4}} \right)\left( {{y}^{4}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{4}} \right)\left( {{z}^{4}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}}+{{z}^{4}} \right)={{x}^{3}}{{y}^{3}}{{z}^{3}} \\\end{align} \right.

  Bài 2. Cho dãy số {{a}_{n}}=n+a\sqrt{{{n}^{2}}+1} với a là tham số thực.
            a) Tìm a để \left( {{a}_{n}} \right) có giới hạn hữu hạn.
            b) Tìm a để \left( {{a}_{n}} \right) là dãy tăng.
  Bài 3.  Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn \left( I \right). Gọi D,E là tiếp điểm của đường tròn \left( I \right) với BC,AC. Trên tia đối tia CB lấy X. Biết rằng hai đường tròn nội tiếp tam giác ABXACY cắt nhau tại hai điểm P,Q. Chứng minh rằng:
       a) Các đường thẳng DE phân giác trong góc ABC và đường trung bình tam giác ABC  đồng qui.
       b) Đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi X đi động trên tia đối tia CB.
  Bài 4.  Cho n là một số nguyên dương. Xét bảng ô vuông có kích thước n\times n. Hỏi bảng đã cho có bao nhiêu hình vuông?
                                                                                                                         Nguồn: diendantoanhoc.net

ĐỀ SỐ 2
(Thi thử VMO 2015- Viện Toán Học)

Ngày I:  (180 phút- không kể thời gian phát đề)
  
  Bài 1: (5 điểm) Cho dãy số (x_n) xác định bởi: \begin{cases}x_1=29\\x_{n+1}=\sqrt[11]{x_1+x_2+...+x_n},\,\forall n>0\end{cases} Tìm giới hạn \lim (x_{n+1}-x_n).
  Bài 2: (5 điểm) Cho các thực dương a_0, a_1,...,a_n sao cho a_{k+1}-a_k\ge 1, k=0,1,...,n-1. Chứng minh rằng: 1+\dfrac{1}{a_0}\left(1+\dfrac{1}{a_1-a_0}\right)...\left(1+\dfrac{1}{a_n-a_0}\right)\le \left(1+\dfrac{1}{a_0}\right)\left(1+\dfrac{1}{a_1}\right)...\left(1+\dfrac{1}{a_n}\right)
  Bài 3: (5 điểm) Cho một bảng ô vuông hình chữ nhật cỡ m\times n\,(m,n\ge 2). Tô màu đen một số ô bảng đó. Hỏi có bao nhêu cách tô sao cho bất kì hàng nào cũng có một số chẵn (có thể bằng 0) các ô đen.
  Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác nhọn ABCD, E, F tương ứng là trung điểm BC, CA, AB. Kí hiệu (I) là đường tròn đường kính AD (I là trung điểm AD). Đường tròn (I) cắt AB, AC tại M, N. Cho MN cắt EF tại P.
         a) Chứng minh rằng đường tròn (DIP) đi qua trung điểm Q của MN.
         b) Cho G là một điểm cố định trên EF. Một đường thẳng thay đổi qua G cắt (I) tại K, H. Cho KF, HE cắt (I) tại R, S. Chứng minh rằng trung điểm T của RS thuộc một đường tròn cố định.

Ngày II(180 phút- không kể thời gian phát đề)

  Bài 5: (7 điểm) Cho f là một đa thức có bậc không nhỏ hơn 2 với hệ số nguyên và f'(0)=0. Gọi (a_n) là dãy được cho bởi a_1=f(0)a_{n+1}=f(a_n),\forall n\ge 1. Giả sử a_n\neq 0, \forall n. Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p, luôn tồn tại một số nguyên dương e_p với tính chất sau: với mọi n thì hoặc p\not | a_n hoặc p^{e_p}\,|\,a_n nhưng p^{e_p+1}\not | a_n
  Bài 6: (7 điểm) Cho tam giácABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là trung điểm BCH là trực tâm tam giác ABC . Cho BH, CH cắt AC, AB tại E, F, tia IH cắt đường tròn (O) tai T. Trên EF lấy D sao cho DH song song với BC.
       a) Chứng minh rằng DT tiếp xúc với đường tròn (HEF).
       b) Gọi M, N lần lượt là giao điểm của EF với (IBT), (ICT) ( điểm M khác phía E đối với F, điểm N khác phía F với E). Gọi P là giao điểm của AH với đường tròn (O). Chứng minh rằng BM. CN, TP đồng qui.
   Bài 7: (6 điểm) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, đa thức \sum_{k=0}^{n} 2^{k(n-k)}x^k có đúng n nghiệm thực.  
  

No comments: