Bài toán [Nguyễn Văn Huyện]: Cho $a,b,c$ là các thực thỏa $a+b, b+c, c+a$ là các số dương. Chứng minh rằng: $$9(a+b)(b+c)(c+a)\ge 8(a+b+c)(ab+bc+ca)$$
Lời giải:
Do $\min\{a+b; b+c; c+a\}>0$ nên trong ba số $a, b, c$ phải có ít nhất hai số không âm. Giả sử đó là $b, c$. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: $$(a+b+c)(ab+bc+ca)\ge 3abc\\\Leftrightarrow (b+c)a^2+[(b+c)^2-8bc]a+bc(b+c)\ge 0$$ Vì $b+c>0$, xét biệt thức $$\Delta =[(b+c)^2-8bc]^2-4bc(b+c)^2=(b+c)^4-20bc(b+c)^2+64b^2c^2$$
Ta sẽ CM $\Delta \le 0$, tức là: $$(b+c)^4-20bc(b+c)^2+64b^2c^2\le 0$$ Chuẩn hóa cho $b+c=1\Rightarrow bc\le \dfrac{1}{4}$. Khi đó ta cần chứng minh: $$64b^2c^2-20bc+1\le 0$$ hiển nhiên đúng với $0<bc\le \dfrac{1}{4}$. Bài toán được giải quyết.