Bài toán: Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $2^n-1$ chia hết cho $3$ và $\dfrac{2^n-1}{3}$ là ước của một số nguyên có dạng $4m^2+1$.

Lời giải:

Bổ đề 1: Với mỗi số nguyên dạng $4k+3$ thì luôn tồn tại một ước nguyên tố $p\equiv 3\pmod{4}$.

Chứng minh: 

Giả sử $n$ là số nguyên dạng $4k+3$. G/s luôn $n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_j^{a_j}$, với $p_i$ là các số nguyên tố, $a_i\in\mathbb{N^*}, i=\overline{1, k}$. Vì $n=4k+3$ nên $n$ là số lẻ. Nếu $p_i\equiv 1\pmod{4}$ thì $n\equiv 1\pmod{4}$, vô lý. Vậy phải tồn tại $p_l$ sao cho $p_l\equiv 3\pmod{4}$. Bổ đề 1 được chứng minh.

Bổ đề 2: Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ và tồn tại $x, y\in\mathbb{Z}$ thỏa $p\;|\; x^2+y^2$ thì $\begin{cases}p\;|\; x\\p\;|\; y\end{cases}$

Chứng minh: 

 Ta xét trong TH $\begin{cases}p\;\not |\; x\\p\;\not |\; y\end{cases}$. Sử dụng định lý Fermat, ta có: $$\begin{cases} x^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\\y^{p-1}\equiv 1\pmod{p}\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}x^{4k+2}\equiv 1\pmod{p}\\y^{4k+2}\equiv 1\pmod{p}\end{cases}\Rightarrow x^{4k+2}+y^{4k+2}\equiv 2\pmod{p}$$ Điều này mâu thuẫ với giả thiết $p\;|\; x^2+y^2$. Vậy bổ đề 2 được chứng minh.

Quay lại bài toán:

Ta có: $2\equiv -1\pmod{3}$ nên $2^n\equiv 1\pmod{3}\Leftrightarrow n$ chẵn. Giả sử: $n=2^k.h,\; h$ lẻ. ta sẽ CM $h=1$. Thật vậy, g/s $h>1$. Ta có: $$2^h-1\;|\; 2^n-1\;|\; 3.4m^2+3$$ Do xét $h$ lẻ nên ta xét với $2^h-1\;|\; 4m^2+1$. Do $2^h-1\equiv 3\pmod{4}$ nên theo bổ đề 1, tồn tại một ước nguyên tố của $2^h -1$ dạng $2^l-1$ Sử dụng bổ đề 2, ta có: $$\begin{cases}2^l-1\; |\; 4m^2\\2^l-1\;|\;1\end{cases}\Leftrightarrow l=1, \text{vô lý}$$ Do vậy $n=2^k, k\in\mathbb{N}$. Ta sẽ CM đây cũng chính là KQ cần tìm. Ta phân tích: $$2^{2^k}-1=(2^{2^0}+1)(2^{2^1}+1)(2^{2^2}+1)...(2^{2^{k-1}}+1)$$ Chú ý rằng $3\;|\; 2^n-1$ nên ta xét với $\prod_{i=1}^{k-1}(2^{2^i}+1)$ Xét hệ thặng dư: $$\begin{cases} x\equiv 2^{2^0-1}\pmod{2^{2^1}+1}\\x\equiv 2^{2^1-1}\pmod{2^{2^{2}}+1}\\...\\x\equiv 2^{2^{i-1}-1}\pmod{2^{2^i}+1}\\...\\x\equiv 2^{2^{k-2}-1}\pmod{2^{2^{k-1}}+1}\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}4x^2\equiv -1\pmod{2^{2^1}+1}\\4x^2\equiv -1 \pmod{2^{2^2}+1}\\...\\4x^2\equiv -1\pmod{2^{2^i}+1}\\...\\4x^2\equiv -1\pmod{2^{2^{k-1}}+1}\end{cases}$$ . Chú ý rằng $\gcd(2^{2^i}+1; 2^{2^j}+1)=1, i\neq j$ nên theo định lý thặng dư Trung Hoa, hệ này có nghiệm duy nhất: $$4x^2\equiv -1\pmod{\prod_{i=1}^{k-1}(2^{2^i}+1)}\Leftrightarrow 4m^2+1\;\vdots \;\dfrac{2^n-1}{3}$$

Vậy: $n=2^k, k\in\mathbb{N}$