Bài toán: (Chọn đội tuyển VMO tỉnh Bắc Giang, năm học 2013-2014)
  Cho dãy số $(x_n)$ được xác định bởi: $$\begin{cases}x_1=0, x_2=1\\x_{n+1}=\dfrac{3x_{n-1}+2}{10x_n+2x_{n-1}+2}\end{cases}$$ Chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải:
 Không mấy khó khăn, ta có thể thấy ngay rằng $x_n>0$. Ta xét hàm số hai biến sau: $$f(a, b)=\dfrac{3a+2}{10b+2a+2},\forall a, b>0$$ Cố định $a$, ta có: $$f'_a(b)=-\dfrac{10(3a+2)}{(10b+2a+2)^2}<0, \forall a, b>0$$ $\Rightarrow f_a(b)$nghịch biến trên $\mathbb{R^+}$  .
Cố định $b$, ta có: $$f'_b(a)=\dfrac{10b+2}{(10b+2a+2)^2}>0,\forall a, b>0$$ $\Rightarrow f_b(a)$ đồng biến trên $\mathbb{R^+}$
Ta lại có: $$2-x_{n+1}=2-\dfrac{3x_{n-1}+2}{10x_n+2x_{n-1}+2}=\dfrac{20x_n+x_{n-1}+2}{10x_n+2x_{n-1}+2}>0\\\Rightarrow 0<x_n<2,\forall n\in\mathbb{N^*}$$ Bằng qui nạp, ta dễ dàng chứng minh được rằng: $(x_{2n})$ giảm và $(x_{2n+1})$ tăng, mặt khác $(x_n)$ bị chặn dưới bởi $0$ và bị chặn trên bởi $2$. Và như thế chúng hội tụ, giả sử $(x_{2n})$ và $(x_{2n+1})$ lần lượt hội tụ về $K$ và $L$. Chuyển qua giới hạn, ta thu được: $$\begin{cases}K=\dfrac{3K+4}{10L+2K+2}\\L=\dfrac{3L+4}{10K+2L+2}\end{cases}\Leftrightarrow K=L=\dfrac{1+\sqrt{193}}{24}$$ . Và cuối cùng, ta thu được kết quả: $$\boxed{\lim x_n=\dfrac{1+\sqrt{193}}{24}}$$