Bài toán: Tìm hằng số $k$ nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực dương $a, b,c$: $$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+kbc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+kca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+kab}}\ge\dfrac{3}{\sqrt{k+1}}$$
Lời giải:
  Cho $a=b$, ta thu được: $$\dfrac{2a}{\sqrt{a^2+kca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+ka^2}}\ge\dfrac{3}{\sqrt{k+1}}$$  Cho $a\rightarrow 0^+$, ta thu được $k\ge 8$. Bây giờ, ta sẽ chứng minh $k=8$ chính là giá trị nhỏ nhất thỏa mãn bài toán, tức là: $$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge 1$$  Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có: $$\left(\sum_{cyc}\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\right)^2\left[\sum_{cyc}a(a+8bc)\right]\ge (a+b+c)^3\\\Leftrightarrow \left(\sum_{cyc}\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\right)^2\ge\dfrac{(a+b+c)^3}{\sum a(a+8bc)}=\dfrac{(a+b+c)^3}{a^3+b^3+c^3+24abc}$$  Và như vậy, ta lui về chứng minh: $$(a+b+c)^3\ge a^3+b^3+c^3+24abc$$  Điều này là hoàn toàn đúng vì theo AM-GM, ta có: $$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)\ge a^3+b^3+c^3+24abc$$ Bất đẳng thức được chứng minh. Vậy: $$\boxed{k_{min}=8}$$