Processing math: 100%

Translate

Thursday, September 4, 2014

Bài toán: Số nguyên lẻ n\ge 3 được gọi là "đẹp" khi và chỉ khi tồn tại một hoán vị (a_1, a_2,..., a_n) của các số (1, 2,..., n) sao cho các tổng sao đây đều là các số nguyên dương a_1-a_2+a_3-...-a_{n-1}+a_n;\\ a_2-a_3+a_4-...-a_n+a_1;\\a_3-a_4+a_5-...-a_1+a_2;\\...\\a_n-a_1+a_2-...-a_{n-2}+a_{n-1} Hãy xác định tập hợp tất cả các số nguyên dương "đẹp" như vậy.
Lời giải:
Đặt: y_1=a_1-a_2+a_3-...-a_{n-1}+a_n;\\ y_2=a_2-a_3+a_4-...-a_n+a_1;\\y_3=a_3-a_4+a_5-...-a_1+a_2;\\...\\y_n=a_n-a_1+a_2-...-a_{n-2}+a_{n-1} Lúc này, n sẽ là số đẹp khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một hoán vị (a_1, a_2,.., a_n) của (1, 2,..., n) sao cho hệ phương trình \begin{cases}y_1+y_2=2a_1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(1)\\y_2+y_3=2a_3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)\\...\\y_{n-1}+y_n=2a_{n-1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;(n-1)\\y_n+y_1=2a_n\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(n)\end{cases} có nghiệm nguyên dương.
 Tới đây, ta cần bổ đề sau: 
     Bổ đề: Với mỗi i (1\le i\le n), ta có: y_i=\dfrac{n(n+1)}{2}-2(a_{i+1}+a_{i+3}+...+a_{i-2}) Ở đây, tổng (a_{i+1}+a_{i+3}+...+a_{i-2}) được hiểu như sau: Lấy a_{i+1} cộng cách dòng với a_{i+3}, cứ làm như thế cho đến hết rồi quay lại phía trên.
 Chứng minh: Cộng vế theo vế các phương trình trong hệ, ta được: 2(y_1+y_2+...+y_n)=(a_1+a_2+...+a_n) Do a_1+a_2+...+a_n=1+2+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2} nên suy ra: 2(y_1+y_2+...+y_n)=n(n+1)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(*) Cộng từng vế các dòng thứ i+1, i+3, i+5,... cho đến khi quay lại dòng i+2, ta có: (y_{i+1}+y_{i+2})(y_{i+3}+y_{i+4})+...+(y_{i-2}+y_{i-1})=2(a_{i+1}+a_{i+3}+...+a_{i-2}) Suy ra:  (y_1+y_2+...+y_n)-y_i=2(a_{i+1}+a_{i+3}+...+a_{i-2}). Do đó: 2(y_1+y_2+...+y_n)-2y_i=4(a_{i+1}+a_{i+3}+...+a_{i-2})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(**) Từ (*)(**) suy ra: y_i=\dfrac{n(n+1)}{2}-2(a_{i+1}+a_{i+3}+...+a_{i-2}) Bổ đề được chứng minh.
 Quay lại bài toán, Vì n lẻ và n\ge 3, nên n=4k-1 hoặc n=4k+1. Áp dụng bổ đề trên, ta suy ra:
    \bullet   Nếu n=4k-1 thì y_i=2k(4k-1)-2(a_{i+1}+a_{i+3}+...+a_{i-2}) suy ra y_i là số chẵn với mọi i=\overline{1, n}.
    \bullet   Nếu n=4k+1 thì y_i=(2k+1)(4k+1)-2(a_{i+1}+a_{i+3}+...+a_{i-2}) suy ra y_i là số lẻ với mọi i=\overline{1, n}
 Xét hai khả năng sau:
    Khả năng 1: Nếu n=4k-1. Ta sẽ chứng minh rằng với mọi số lẻ n\ge 3 thuộc dạng n=4k-1n không phải là số "đẹp".
   Thật vậy, giả thiết phản chứng nếu nó là số "đẹp" thì phải tồn tại một hoán vị (a_1, a_2, ...,a_n) của (1, 2, ..., n) sao cho hệ trên có nghiệm. Hơn nữa ta còn phải có y_i là số nguyên dương chẵn với mọi \overline{1, n}. Do (a_1, a_2,..., a_n) là một hoán vị của (1, 2, ..., n), nên tồn tại j (1\le j\le n)a_j=1. Khi đó, xét phương trình thứ j, ta có: y_j+y_{j+1}=2a_1\Rightarrow y_j+y_{j+1}=2y_j nguyên dương chẵn với mọi i=\overline{1, n} nên y_j, y_{j+2}\ge 2\Rightarrow y_j+y_{j+2}\ge 4, mâu thuẫn. Như vậy, với mọi số lẻ n\ge 3 thuộc dạng n=4k-1 thì n không là số "đẹp"
   Khả năng 2: Nếu n=4k+1,khi đó y_i là số lẻ \forall i=\overline{1,n}. Ta chọn hoán vị sau: \begin{cases} a_1=2, a_2=4, a_3=6,...,a_{2k}=4k\\a_{2k+1}=4k+2\\a_{4k+1}=1, a_{4k}=3, a_{4k-2}=5,...,a_{2k+2}=4k-2\end{cases} Lúc này hệ phương trình ban đầu sẽ nhận các nghiệm: \begin{cases}y_1=1, y_2=3, y_3=5,...,y_{2k}=4k-1\\y_{2k+1}=y_{2k+2}=4k+1\\y_{2k+3}=y_{2k+4}=4k-3\\y_{2k+5}=y_{2k+6}=4k-7\\...\\y_{4k-1}=y_{4k}=5\\y_{4k+1}=1\end{cases} Theo đó, số nguyên dương lẻ n\ge 3 dạng n=4k+1 là số "đẹp".
Cuối cùng, số nguyên dương lẻ n\ge 3 là số đẹp khi và chỉ khi n có dạng: \boxed{n=4k+1,k\in\mathbb{N}}

No comments: