Bài toán: Cho $a, b, c$ là các số dương thỏa mãn $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\le a+b+c$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{(2a+b+c)^2}+\dfrac{1}{(a+2b+c)^2}+\dfrac{1}{(a+b+2c)^2}\le \dfrac{3}{16}$$ Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: $$2a+b+c=(a+b)+(a+c)\ge 2\sqrt{(a+b)(a+c)}$$ $$\Rightarrow \dfrac{1}{(2a+b+c)^2}\le \dfrac{1}{4(a+b)(c+a)}$$ Tương tự, ta cũng có: $$\dfrac{1}{(a+2b+c)^2}\le \dfrac{1}{4(a+b)(b+c)}$$ $$\dfrac{1}{(a+b+2c)^2}\le \dfrac{1}{4(b+c)(c+a)}$$ Và như thế: $$\sum\dfrac{1}{(2a+b+c)^2}\le \dfrac{1}{4}\sum\dfrac{1}{(a+b)(b+c)}=\dfrac{a+b+c}{2(a+b)(b+c)(c+a)}$$ Do đó, ta chỉ cần chứng minh: $$\dfrac{a+b+c}{(a+b)(b+c)(c+a)}\le\dfrac{3}{8}$$ Đặt $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$. Từ giả thiết suy ra: $$pr\ge q$$ Va ta cần chỉ ra: $$\dfrac{p}{pq-r}\le \dfrac{3}{8}$$ Tới đây, ta chú ý tới bất đẳng thức AM-GM: $pq\ge 9r\Rightarrow 9(pq-r)\ge 8pq\Rightarrow \dfrac{p}{pq-r}\le \dfrac{9}{8q}$.

Tới đây, bài toán được chứng minh nếu ta chỉ ra được: $q\ge 3$. Thật vậy, từ giả thiết và kết hợp với bất đẳng thức quen thuộc, ta có: $$q\ge \sqrt{3pr}\ge \sqrt{3q}\Rightarrow q\ge 3$$ Bài toán được chứng minh.