Bài toán: Cho hai dãy số (a_n) và (b_n) được xác định bởi: \begin{cases} a_0=1, a_1=\dfrac{1}{2}\\2b_{n+1}=2b_n-a_n\\b_n=\dfrac{1}{3}+2a_{n+1}\end{cases} Đặt c_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\sum_{i=0}^{n}\dfrac{b_i}{a_i}, Tính \lim c_n
Lời giải:
Ta tính được b_0=\dfrac{4}{3}, b_1=\dfrac{5}{6}, ta có: 2b_{n+2}=2b_{n+1}-a_{n+1}=2b_{n+1}-\dfrac{1}{2}\left(b_n-\dfrac{1}{3}\right) Đặt v_n=b_n-\dfrac{1}{3}. Khi đó, ta có 4v_{n+2}=4v_{n+1}-v_n Xét phương trình: 4t^2-4t+1=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}. Lúc này, với n=0, 1, ta dễ dàng tính được: v_n=\dfrac{1}{2^n}\Rightarrow b_n=\dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{3}\\\Rightarrow a_n=\dfrac{1}{2^n} Suy ra \dfrac{b_n}{a_n}=\dfrac{2^n}{3}+1\Rightarrow c_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\sum_{i=0}^n\left(\dfrac{2^i}{3}+1\right)=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac{1}{2^i}+\dfrac{n(n+1)}{2^{n+2}} Ta chú ý rằng: \lim\dfrac{n(n+1)}{2^{n+2}}=0 \lim\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac{1}{2^i}=1 Do đó \lim \left(\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac{1}{2^i}+\dfrac{n(n+1)}{2^{n+2}}\right)=\dfrac{1}{3}
Kết luận, \lim c_n=\dfrac{1}{3}
No comments:
Post a Comment