Bài toán: Cho hai dãy số $(a_n)$ và $(b_n)$ được xác định bởi: $$\begin{cases} a_0=1, a_1=\dfrac{1}{2}\\2b_{n+1}=2b_n-a_n\\b_n=\dfrac{1}{3}+2a_{n+1}\end{cases}$$ Đặt $c_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\sum_{i=0}^{n}\dfrac{b_i}{a_i}$,  Tính $\lim c_n$

Lời giải:
 Ta tính được $b_0=\dfrac{4}{3}, b_1=\dfrac{5}{6}$, ta có: $$2b_{n+2}=2b_{n+1}-a_{n+1}=2b_{n+1}-\dfrac{1}{2}\left(b_n-\dfrac{1}{3}\right)$$ Đặt $v_n=b_n-\dfrac{1}{3}$. Khi đó, ta có $4v_{n+2}=4v_{n+1}-v_n$ $$ $$ Xét phương trình: $4t^2-4t+1=0\Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$. Lúc này, với $n=0, 1$, ta dễ dàng tính được: $$v_n=\dfrac{1}{2^n}\Rightarrow b_n=\dfrac{1}{2^n}+\dfrac{1}{3}\\\Rightarrow a_n=\dfrac{1}{2^n}$$ Suy ra $$\dfrac{b_n}{a_n}=\dfrac{2^n}{3}+1\Rightarrow c_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\sum_{i=0}^n\left(\dfrac{2^i}{3}+1\right)=\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac{1}{2^i}+\dfrac{n(n+1)}{2^{n+2}}$$ Ta chú ý rằng: $$\lim\dfrac{n(n+1)}{2^{n+2}}=0$$ $$\lim\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac{1}{2^i}=1$$ Do đó $\lim \left(\dfrac{1}{3}\sum_{i=1}^{n+1}\dfrac{1}{2^i}+\dfrac{n(n+1)}{2^{n+2}}\right)=\dfrac{1}{3}$
 Kết luận, $$\lim c_n=\dfrac{1}{3}$$