Phan Đình Trung: ĐỊnh lí vi ét đối với phương trình bậc cao

Định lí Viét đối với phương trình bậc cao

Ở các bài trước chúng tôi đã trao đổi với các bạn về cách giải phương trình bậc ba và phương trình bậc cao. Trong bài học này chúng tôi muốn trao đổi với các bạn về Định Lí Viet đối với phương trình bậc cao và một số ứng dụng.

1. Định lí Viet cho phương trình bậc ba

Cho phương trình :

(1).

a) Định lí Viet thuận: Nếu (1) có ba nghiệm

thì ta có:

b) Định lí đảo của định lí Viet: Nếu ba số

thỏa mãn :

thì

là ba nghiệm của phương trình :

2. Định lí Viet cho phương trình bậc cao

Nếu đa thức

(

có n nghiệm

thì ta có:

Ta kí hiệu :

;

là tổng các tích chập k của n số

và được gọi là các đa thức đối xứng sơ cấp của các nghiệm.

Ví dụ 1: Gọi

là nghiệm của PT :

. Tính:

;

Giải:

Ta dễ dàng chứng minh được phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí Viét ta có:

Ta có:

Vì:

Chú ý : 1) Các biểu thức A, B, C, D ở trên gọi là các đa thức đối xứng ba biến. Một tính chất quan trọng của các đa thức đối xứng

ba biến là chúng luôn biểu diễn được qua ba đa thức đối xứng ba biến sơ cấp.

Cụ thể nếu ta đặt

thì ta có một số biểu diễn sau:

2) Gọi

là nghiệm PT :

Đặt

, khi đó ta có hệ thức:

Ví dụ 2: Tìm điều kiện để phương trình :

có ba nghiệm, trong đó tổng hai nghiệm gấp

nghiệm còn lại.

Giải: * Giả sử phương trình có ba nghiệm

trong đó tổng hai nghiệm gấp k nghiệm nghiệm còn lại.

Theo định lí Vi ét, ta có:

Ta có:

(1).

Với a,b,c thỏa mãn (1), ta tìm điều kiện để phương trình có ba nghiệm là được. Từ (1)

thay vào phương trình ta có:

phương trình có ba nghiệm

(2).

Vậy điều kiện a,b,c là:

Chú ý :

1) Với

thì ba nghiệm của phương trình trên lập thành cấp số cộng.

“Vậy phương trình

có ba nghiệm lập thành cấp số cộng nếu và chỉ nếu:

” .

2) Đến đây chắc các bạn sẽ tự đặt ra câu hỏi là a,b,c phải thỏa mãn điều kiện gì để phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số nhân ? Câu trả lời dành cho các bạn .

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình :

Giải: Vì hệ đã cho gồm ba phương trình là những đa thức đối xứng ba biến nên ta biểu diễn ba phương trình đó qua ba đa thức đối xứng cơ bản .

Đặt

, hệ trở thành:

là ba nghiệm của phương trình :

Vậy nghiệm của hệ đã cho là:

và các hoán vị.

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau :

(THTT).

Giải: Đặt

Khi đó:

Hệ đã cho trở thành:

(Ở đây ta đã sử dụng các đẳng thức:

và

)

là nghiệm của phương trình :

Xét phương trình :

Phương trình

Từ đó ta có nghiệm của hệ đã cho là:

và các hoán vị.

Ví dụ 4: Cho phương trình

có ba nghiệm và

. Chứng minh rằng phương trình có đúng một nghiệm lớn hơn c.

Giải: Trước hết ta thấy rằng nếu

. Do đó yêu cầu bài toán trở thành chứng minh trong ba số

có đúng một số dương. Điều này dẫn đến ta đi xét tích:

Gọi

là ba nghiệm của phương trình đã cho.

Theo định lí Vi ét, ta có:

Ta xét:

(do giả thiết)

Nếu cả ba nghiệm

vô lí (do

), vậy trong ba số

, tồn tại đúng một số dương

trong ba nghiệm của phương trình có đúng một nghiệm lớn hơn c.

Ví dụ 5: Giả sử phương trình

(1) có ba nghiệm phân biệt khác 0. Chứng minh rằng phương trình :

(2) cũng có ba nghiệm phân biệt.

Giải: Gọi

là ba nghiệm của phương trình (1).

Theo định lí Viet, ta có:

Giả sử (2) có ba nghiệm

, ta có:

Dẫn đến ta dự đoán ba nghiệm của (2) là

Đặt

, ta có:

là ba nghiệm của phương trình :

Vì là ba nghiệm phân biệt nên

cũng là ba nghiệm phân biệt

Vậy phương trình

có ba nghiệm phân biệt.

Chú ý : Khi gặp bài toán cho phương trình :

(1) có ba nghiệm và yêu cầu chứng minh phương trình

(2) cũng có ba nghiệm ta thường làm như sau:
Gọi

là ba nghiệm của (1), ta chứng minh

là ba nghiệm của (2) bằng cách chứng minh:

Ví dụ 6: Cho

dương và phương trình

có ba nghiệm. Chứng minh rằng:

Giải:

Giả thiết bài toán cho phương trình có ba nghiệm và yêu cầu chúng ta chứng minh BĐT giữa các hệ số nên ta nghĩ đến chuyển

các BĐT đó thành các BĐT của ba nghiệm . Gọi

là ba nghiệm của phương trình . Vì

Ta có:

Bài toán trở thành cho ba số

và có tổng bằng 1. Chứng minh:

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

Giả sử

(đpcm).

Đẳng thức xảy ra

Chú ý : Khi gặp các BĐT về hệ số của phương trình bậc ba (cũng như bậc cao) ta có thể sử dụng định lí Viet để chuyển BĐT cần chứng minh về BĐT các nghiệm của phương trình . Hơn nữa ta thấy còn đường để sáng tác ra những bài toán dạng này là xuất phát từ một BĐT đối xứng ba biến, sử dụng định lí Viet ta chuyển BĐT đó về BĐT giữa các hệ số của phương trình bậc ba. Chẳng hạn từ bài toán:

Cho

thỏa mãn

. Chứng minh

Ta chuyển thành bài toán như sau

Cho phương trình :

có ba nghiệm không âm. Chứng minh

. Ví dụ sau đây cũng là một sản phẩm của cách làm trên.

Ví dụ 7: Cho phương trình

có ba nghiệm . Chứng minh:

(HSG QG – 2001 ).

Giải:

Gọi

là ba nghiệm của phương trình đã cho. Theo Viet, ta có:

BĐT cần chứng minh trở thành:

(1).

* Nếu

đúng.

* Nếu

. Vì (1) là BĐT thuần nhất nên ta chỉ cần chứng minh (1) khi

. Và (1) trở thành:

(2)

Giả sử

Gọi P là VT(2)

Đặt

và

. Đẳng thức xảy ra

Hay (a;b;c) là hoán vị của bộ

Ví dụ 8 Cho phương trình

với

, có ba nghiệm dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của

(HSG QG 1999).

Giải:

Gọi

là ba nghiệm thực dương của phương trình đã cho.

Áp dụng định lí Viet ta có:

Ta có:

Cách 1:

Xét hàm số:

với

. Ta có:

giảm trên

Xét hàm g(a) với

, ta có:

.Đẳng thức có

Khi đó

. Vậy

Cách 2: Ta có

và

. Đẳng thức xảy ra

Ví dụ 10: Cho phương trình

có n nghiệm, trong đó

. Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình nằm trong đoạn

Giải: Gọi

là n nghiệm của phương trình đã cho. Khi đó yêu cầu bài toán cần chứng minh:

. Điều này dẫn tới ta có cách giải như sau:

Theo định lí Viet ta có:

(Do

)

đpcm.

Ví dụ 11: Cho phương trình sau có n nghiệm (

). Hãy tìm các nghiệm đó ?

Giải: Ta thấy phương trình chỉ có ba hệ số của

là những giá trị cụ thể còn những hệ số khác chúng ta chưa xác định được. Do đó để giải phương trình này ta phải dựa vào mối quan hệ giữa các hệ số của

, điều này gợi ý cho chúng ta sử dụng định lí Viet. Thật vậy:

Gọi

là n nghiệm của phương trình đã cho.

Theo định lí Viet ta có: